A equação do calor em duas dimensões espaciais pode ser expressa, em coordenadas polares, na forma$$
\alpha^{2}\left[u_{r r}+(1 / r) u_{r}+\left(1 / r^{2}\right) u_{\theta \theta}\right]=u_{r}$$
Supondo que
, encontre as equações diferenciais ordinárias que são satisfeitas por
e
.
Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação do calor em duas dimensões usando coordenadas polares. A equação dada é:
Queremos encontrar as equações diferenciais ordinárias (EDOs) para as funções
,
e
assumindo que a solução
pode ser escrita como um produto dessas funções:
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa suposição de separação de variáveis. Estamos assumindo que a solução pode ser decomposta em três partes, cada uma dependente de uma única variável:
,
e
. Isso facilita a resolução da equação, transformando uma equação em várias equações mais simples.
Passo 3
Vamos substituir
na equação do calor. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Derivada em relação a
: -
Segunda derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
: -
Segunda derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação do calor:
Passo 5
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para separar as variáveis:
Passo 6
Observe que o lado esquerdo da equação depende apenas de
e
, enquanto o lado direito depende apenas de
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todas as variáveis, cada lado deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Então, temos duas equações:
-
Para o tempo:
-
Para as variáveis espaciais:
Passo 7
Vamos tratar primeiro a parte angular. Para separar
e
, rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para que os termos envolvendo
e
sejam separados, devemos igualar cada parte a uma constante. Vamos chamar a constante associada à parte angular de
:
Passo 8
Agora, temos duas equações separadas:
-
Para
: -
Para
:
E para o tempo:
Passo 9
Resumindo, chegamos às seguintes Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs):
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
As equações diferenciais ordinárias satisfazidas são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: