A equação do calor em duas dimensões espaciais pode ser expressa, em coordenadas polares, na forma$$
\alpha^{2}\left[u_{r r}+(1 / r) u_{r}+\left(1 / r^{2}\right) u_{\theta \theta}\right]=u_{r}$$
Supondo que alpha^2 [u_rr + (1 / r) u_r + (1 / r^2) u_theta_theta] = u_r, encontre as equações diferenciais ordinárias que são satisfeitas por u(r, theta, t) = R(r) * Theta(theta) * T(t) e R(r), Theta(theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação do calor em duas dimensões usando coordenadas polares. A equação dada é:
Queremos encontrar as equações diferenciais ordinárias (EDOs) para as funções , e assumindo que a solução pode ser escrita como um produto dessas funções: .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa suposição de separação de variáveis. Estamos assumindo que a solução pode ser decomposta em três partes, cada uma dependente de uma única variável: , e . Isso facilita a resolução da equação, transformando uma equação em várias equações mais simples.

Passo 3

Vamos substituir na equação do calor. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada em relação a :
  • Segunda derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
  • Segunda derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação do calor:

Passo 5

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por para separar as variáveis:

Passo 6

Observe que o lado esquerdo da equação depende apenas de e , enquanto o lado direito depende apenas de . Para que essa igualdade seja verdadeira para todas as variáveis, cada lado deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essa constante de .
Então, temos duas equações:
  1. Para o tempo:
  2. Para as variáveis espaciais:

Passo 7

Vamos tratar primeiro a parte angular. Para separar e , rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Para que os termos envolvendo e sejam separados, devemos igualar cada parte a uma constante. Vamos chamar a constante associada à parte angular de :

Passo 8

Agora, temos duas equações separadas:
  1. Para :
  2. Para :
E para o tempo:

Passo 9

Resumindo, chegamos às seguintes Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs):
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Resposta

As equações diferenciais ordinárias satisfazidas são:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

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