Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
. Estamos lidando com funções de raiz quadrada, então vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde ela dá resultados reais.
Passo 3
Como temos uma raiz quadrada na função, a expressão dentro dela,
, precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz quadrada seja real. Então, vamos resolver a inequação:
Passo 4
Vamos isolar o
na inequação. Primeiro, subtraímos 6 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por -2. Lembre-se que ao dividir ou multiplicar uma inequação por um número negativo, invertemos o sinal da desigualdade:
Passo 5
Então, o domínio da função
é todos os valores de
que são menores ou iguais a 3. Em notação de intervalo:
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que é uma função de raiz quadrada, que geralmente tem a forma de um “meio sorriso”. Vamos identificar alguns pontos chave para desenhar o gráfico:
- Ponto de início: Quando
,
Então, o ponto é
.
- Outro ponto: Vamos escolher
,
Então, o ponto é
.
- Mais um ponto: Por exemplo,
,
Então, o ponto é
.
Passo 7
Com esses pontos, sabemos que o gráfico começa no ponto
e se estende para a esquerda, subindo conforme nos afastamos de
. A curva será semelhante à de
, mas refletida e deslocada conforme a expressão dentro da raiz.
Resposta
O domínio da função é
. O gráfico de
é uma curva que começa no ponto
e se estende para a esquerda, formando um “meio sorriso”.