Determine o domínio de e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio da função e também encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio, assíntotas verticais e horizontais, e como trabalhar com funções que envolvem raízes e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser não negativo (ou seja, maior ou igual a zero). Além disso, no denominador da fração, , não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos resolver as duas condições que encontramos:
  1. Dentro da raiz quadrada:
    Para que essa fração seja não negativa, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
  2. Denominador diferente de zero:

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Primeiro, encontramos os pontos onde o numerador ou o denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos. Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva ou zero:
  1. Intervalo :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração positiva.
  2. Intervalo :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração negativa.
  3. Intervalo :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração positiva.

Passo 5

Considerando que , pois o denominador não pode ser zero, o domínio da função é onde a fração é positiva ou zero:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais e horizontais.
  • Assíntotas Verticais: Ocorrem onde a função não está definida e o limite tende a infinito. Aqui, faz o denominador ser zero, então temos uma assíntota vertical em:
  • Assíntotas Horizontais: São linhas que a função se aproxima quando tende a ou . Observamos o comportamento de para grandes valores de :
    Então, a função se aproxima de quando vai para . Logo, temos uma assíntota horizontal em:

Resposta

O domínio de é . A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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Se , mostre que .
Uma caixa sem tampa vai ser fabricada com madeira de 0.6 cm de espessura. As dimensões internas da caixa sendo 60 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura, calcule a quantidade de madeira usada na fabricação da caixa.
Calcule os limites a seguir:
(d)
Calcule nos seguintes casos:
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