Determine o domínio de
e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio da função
e também encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio, assíntotas verticais e horizontais, e como trabalhar com funções que envolvem raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser não negativo (ou seja, maior ou igual a zero). Além disso, no denominador da fração,
, não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos resolver as duas condições que encontramos:
-
Dentro da raiz quadrada:Para que essa fração seja não negativa, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal.
-
Denominador diferente de zero:
Passo 4
Vamos resolver a inequação
. Primeiro, encontramos os pontos onde o numerador ou o denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos. Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva ou zero:
-
Intervalo
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração positiva.
- Numerador:
-
Intervalo
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração negativa.
- Numerador:
-
Intervalo
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração positiva.
- Numerador:
Passo 5
Considerando que
, pois o denominador não pode ser zero, o domínio da função é onde a fração é positiva ou zero:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais e horizontais.
-
Assíntotas Verticais: Ocorrem onde a função não está definida e o limite tende a infinito. Aqui,
faz o denominador ser zero, então temos uma assíntota vertical em: -
Assíntotas Horizontais: São linhas que a função se aproxima quando
tende a ou . Observamos o comportamento de para grandes valores de : Então, a função se aproxima dequando vai para . Logo, temos uma assíntota horizontal em:
Resposta
O domínio de
é
. A função possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Se
, mostre que
.
Uma caixa sem tampa vai ser fabricada com madeira de 0.6 cm de espessura. As dimensões internas da caixa sendo 60 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura, calcule a quantidade de madeira usada na fabricação da caixa.
Calcule os limites a seguir:
(d)
(d)
Calcule
nos seguintes casos:
© e
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