Determine o domínio de :
(f) x / (x + raiz(cubo(x^2)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você acabou de pedir para determinar o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para isso, precisamos identificar se há algum valor de que não pode ser usado na função, como causar divisão por zero ou resultar em números imaginários.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fração da função. Em uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, queremos garantir que:
Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de que não fazem com que o denominador seja zero.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero:
A raiz cúbica de , que é , está definida para todos os números reais, então não há restrições por causa da raiz.

Passo 4

Vamos isolar :
Para eliminar a raiz cúbica, vamos elevar ambos os lados ao cubo:
Simplificando isso, temos:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação:
Agora, vamos fatorar:
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 6

Vamos verificar se esses valores realmente anulam o denominador:
  • Para :
  • Para :
Portanto, tanto quanto anulam o denominador.

Passo 7

Concluímos que a função não está definida para e . Todos os outros valores de são válidos.

Resposta

O domínio da função é:
Ou, em intervalos:

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