Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e fazer um esboço do gráfico da função
. Estamos lidando com funções logarítmicas, que são bem legais e têm algumas propriedades importantes que vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de
que a função pode receber. Para funções logarítmicas como
, o argumento do logaritmo (neste caso,
) tem que ser maior que zero. Isso porque o logaritmo de zero ou de um número negativo não está definido.
Então, temos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, precisamos entender algumas características básicas das funções logarítmicas:
-
Intercepto com o eixo x: É o ponto onde
. Resolvendo , temos que , já que . Então, o ponto é . -
Assíntota vertical: A função tem uma assíntota vertical no eixo y, ou seja, conforme
se aproxima de 0, tende a . Isso significa que o gráfico se aproxima do eixo y, mas nunca o toca. -
Comportamento geral: A função é crescente, ou seja, conforme
aumenta, também aumenta, mas a taxa de crescimento diminui.
Vamos plotar alguns pontos para ajudar no esboço:
- Para
, - Para
, - Para
,
Resposta
O domínio da função
é
. O gráfico é uma curva crescente que passa pelo ponto
, possui uma assíntota vertical no eixo y (quando
se aproxima de 0) e se estende para a direita conforme
aumenta.