Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
f(x)=log 2 x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar o domínio e fazer um esboço do gráfico da função . Estamos lidando com funções logarítmicas, que são bem legais e têm algumas propriedades importantes que vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de x > 0 que a função pode receber. Para funções logarítmicas como , o argumento do logaritmo (neste caso, ) tem que ser maior que zero. Isso porque o logaritmo de zero ou de um número negativo não está definido.
Então, temos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, precisamos entender algumas características básicas das funções logarítmicas:
  1. Intercepto com o eixo x: É o ponto onde . Resolvendo , temos que , já que . Então, o ponto é .
  2. Assíntota vertical: A função tem uma assíntota vertical no eixo y, ou seja, conforme se aproxima de 0, tende a . Isso significa que o gráfico se aproxima do eixo y, mas nunca o toca.
  3. Comportamento geral: A função é crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta, mas a taxa de crescimento diminui.
Vamos plotar alguns pontos para ajudar no esboço:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,

Resposta

O domínio da função é . O gráfico é uma curva crescente que passa pelo ponto , possui uma assíntota vertical no eixo y (quando se aproxima de 0) e se estende para a direita conforme aumenta.

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