Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo: determinar o domínio dessa função e fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções logarítmicas e as condições que elas precisam cumprir para serem definidas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso das funções logarítmicas, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, temos que:
Isso porque o argumento do logaritmo, que é
, tem que ser positivo.
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Então, o domínio da função é todo número real menor que zero.
Passo 4
Agora, vamos pensar no esboço do gráfico. Sabemos que a base do logaritmo é
, que é menor que 1. Isso nos diz que a função logarítmica tem uma base de decrescimento. Além disso, como o argumento é
, estamos refletindo o gráfico do logaritmo em relação ao eixo
.
Passo 5
Vamos lembrar que a função
tem algumas características básicas:
- Passa pelo ponto
porque . - Tem uma assíntota vertical no
. - É definida para
.
No nosso caso, com a transformação
, a função vai estar definida para
, refletida em relação ao eixo
, e a base
faz com que a função decresça.
Passo 6
Então, para esboçar o gráfico:
- A assíntota vertical continua no
. - O ponto de interseção com o eixo
fica em porque . - Conforme
se aproxima de zero pela esquerda, tende a . - Conforme
vai para , tende a .
Resposta
O domínio da função é
. O gráfico é uma curva decrescente do logaritmo com base
, com uma assíntota vertical em
e passando pelo ponto
.
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