Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo: determinar o domínio dessa função e fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções logarítmicas e as condições que elas precisam cumprir para serem definidas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso das funções logarítmicas, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, temos que:
Isso porque o argumento do logaritmo, que é , tem que ser positivo.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
Então, o domínio da função é todo número real menor que zero.

Passo 4

Agora, vamos pensar no esboço do gráfico. Sabemos que a base do logaritmo é , que é menor que 1. Isso nos diz que a função logarítmica tem uma base de decrescimento. Além disso, como o argumento é , estamos refletindo o gráfico do logaritmo em relação ao eixo .

Passo 5

Vamos lembrar que a função tem algumas características básicas:
  • Passa pelo ponto porque .
  • Tem uma assíntota vertical no .
  • É definida para .
No nosso caso, com a transformação , a função vai estar definida para , refletida em relação ao eixo , e a base faz com que a função decresça.

Passo 6

Então, para esboçar o gráfico:
  • A assíntota vertical continua no .
  • O ponto de interseção com o eixo fica em porque .
  • Conforme se aproxima de zero pela esquerda, tende a .
  • Conforme vai para , tende a .

Resposta

O domínio da função é . O gráfico é uma curva decrescente do logaritmo com base , com uma assíntota vertical em e passando pelo ponto .

Exercícios relacionados

Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
Reduza a expressão dada em um único logaritmo.
Reduza a expressão dada em um único logaritmo.