Resolva as integrais das funções racionais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de uma função racional, que é tipo uma fração com polinômios no numerador e no denominador. O exercício que temos é:
Para resolver isso, vamos usar a técnica das frações parciais, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador e o numerador pra ver se dá pra simplificar a fração. O denominador é . Podemos fatorar assim:
Agora, o numerador também dá pra fatorar, usando a soma de cubos:
Então, a nossa fração fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica das frações parciais. A ideia é escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Com os fatores do denominador, a gente pode escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
  1. Coeficiente de : → Não há no lado direito, então isso indica que precisamos revisar nossos passos. Na verdade, percebemos que no lado esquerdo, após a expansão correta, só temos , e no lado direito, o maior grau é .
Isso significa que houve um erro na fatoração ou na aplicação das frações parciais. Vamos verificar a fatoração novamente.

Passo 7

Vamos reavaliar a fatoração do numerador e denominador:
Denominador:
Numerador:
Parece que a fatoração está correta, então devemos ajustar a abordagem para as frações parciais. Talvez precisemos de um termo adicional devido ao grau do numerador ser igual ao do denominador.

Passo 8

Como o grau do numerador ( ) é igual ao do denominador ( ), precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais. Vamos dividir por .
Mas para simplificar, vamos reescrever a fração original:
Ao dividir por , obtemos uma parte constante mais uma fração de grau menor, permitindo aplicar frações parciais.

Passo 9

Na verdade, para facilitar, podemos reescrever a fração original de modo a deixar o denominador com coeficiente líder igual a 1:
Agora, o grau do numerador e denominador é o mesmo, então fazemos a divisão:
Dividindo por , a parte inteira é , e o resto é .
Então, temos:
Agora, a segunda fração tem grau menor no numerador, e podemos aplicar frações parciais.

Passo 10

Vamos focar na segunda fração:
Simplificando os fatores:
Agora, aplicamos as frações parciais:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Vamos expandir cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 12

Agora, vamos igualar os coeficientes:
  1. Não há no lado esquerdo, então:
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 13

Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo na equação 2:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar frações:
Agora, substituindo na equação 1:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :

Passo 14

Agora que temos , e , podemos reescrever a fração parcial:
Simplificando:

Passo 15

Agora, voltando à nossa integral original:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 16

Integrando termo a termo:
  1. :
    Fazendo uma substituição , então , ou seja, .
    Então:
  2. :
    Fazendo uma substituição , então , ou seja, .
    Então:

Passo 17

Juntando tudo, nossa integral fica:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral resolve-se por:

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