Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
e também o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem. A função dada é:
Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como encontrar as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida. Olhando para a nossa função, temos uma fração. Então, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.
Passo 3
Então, observando a parte da função onde
, temos:
Para essa fração ser válida, o denominador
não pode ser zero. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores que fazem o denominador zero:
Então, quando
, o denominador é zero e a função não está definida, exceto no ponto
, que já foi tratado separadamente.
Passo 4
Além disso, no ponto
, a função está definida como zero. Portanto, o domínio da função
inclui todos os pares reais
exceto aqueles onde
, a não ser quando
.
Passo 5
Agora, vamos determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 6
Para encontrar as derivadas parciais, primeiro precisamos derivar a função quando
:
Usaremos a regra da derivada de uma fração, que diz que:
E de forma similar para
.
Passo 7
Calculando
:
Então:
Similarmente, para
:
Essas derivadas estão definidas sempre que o denominador
não for zero, ou seja, quando
.
Passo 8
No ponto
, a função
é constante (igual a zero). As derivadas parciais nesse ponto serão zero, pois não há variação da função em relação a
ou
.
Resposta
O domínio da função
é todo o conjunto dos números reais
, exceto quando
, a menos que
.
As derivadas parciais de primeira ordem de
também têm domínio em todos os
reais, exceto quando
. No ponto
, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero.
Exercícios relacionados
- ( 0,5 pts) Pode-se mostrar que os coeficientes da parábola são determinados pelos limites abaixos. Calcule-os:
(
pts) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Dica: Se você derivou corretamente, é uma das raízes do polinômio no numerador.
Dica: Se você derivou corretamente,
Calcular a área determinada pelas curvas de equações
e
.
(a)