Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função e também o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem. A função dada é:
Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como encontrar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida. Olhando para a nossa função, temos uma fração. Então, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Então, observando a parte da função onde , temos:
Para essa fração ser válida, o denominador não pode ser zero. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores que fazem o denominador zero:
Então, quando , o denominador é zero e a função não está definida, exceto no ponto , que já foi tratado separadamente.

Passo 4

Além disso, no ponto , a função está definida como zero. Portanto, o domínio da função inclui todos os pares reais exceto aqueles onde , a não ser quando .

Passo 5

Agora, vamos determinar as derivadas parciais de primeira ordem de . As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 6

Para encontrar as derivadas parciais, primeiro precisamos derivar a função quando :
Usaremos a regra da derivada de uma fração, que diz que:
E de forma similar para .

Passo 7

Calculando :
Então:
Similarmente, para :
Essas derivadas estão definidas sempre que o denominador não for zero, ou seja, quando .

Passo 8

No ponto , a função é constante (igual a zero). As derivadas parciais nesse ponto serão zero, pois não há variação da função em relação a ou .

Resposta

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais , exceto quando , a menos que .
As derivadas parciais de primeira ordem de também têm domínio em todos os reais, exceto quando . No ponto , ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero.

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