Resolva as integrais usando a substituição de variável:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando a integral tem uma expressão composta. Vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma variável nova, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observamos que o expoente de 3 é um polinômio: . Vamos chamar esse polinômio de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral:

Isso significa que:
Podemos fatorar:

Então, isolando :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:

Podemos tirar o para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar . A integral de em relação a é:

Aplicando isso aqui:

Passo 6

Voltando à nossa expressão com o :

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para a expressão original em termos de :

Então:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Use integração por partes para resolver as integrais:
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.