Resolva as integrais usando a substituição de variável: integral 3^x^2+4 x+3(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3^x^2+4x+3(x+2) , dx. Aqui estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando a integral tem uma expressão composta. Vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma variável nova, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observamos que o expoente de 3 é um polinômio: x^2 + 4x + 3. Vamos chamar esse polinômio de u:
u = x^2 + 4x + 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral:
dudx = 2x + 4
Isso significa que:
du = (2x + 4) , dx
Podemos fatorar:
du = 2(x + 2) , dx
Então, isolando (x + 2) , dx:
(x + 2) , dx = du2

Passo 4

Vamos substituir u e (x + 2) , dx na integral original:
integral 3^x^2+4x+3(x+2) , dx = integral 3^u cdot du2
Podemos tirar o 12 para fora da integral:
= 12 integral 3^u , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 3^u. A integral de a^u em relação a u é:
integral a^u , du = a^uln a + C
Aplicando isso aqui:
integral 3^u , du = 3^uln 3 + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão com o 12:
12 cdot 3^uln 3 + C = 3^u2 ln 3 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:
u = x^2 + 4x + 3
Então:
3^x^2+4x+32 ln 3 + C

Resposta

A integral integral 3^x^2+4x+3(x+2) , dx é igual a 3^x^2+4x+32, ln 3 + C.

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