Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando a integral tem uma expressão composta. Vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma variável nova, facilitando assim a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observamos que o expoente de 3 é um polinômio:
. Vamos chamar esse polinômio de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral:
Isso significa que:
Podemos fatorar:
Então, isolando
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Podemos tirar o
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A integral de
em relação a
é:
Aplicando isso aqui:
Passo 6
Voltando à nossa expressão com o
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para a expressão original em termos de
:
Então:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Use integração por partes para resolver as integrais:
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.