Use integração por partes para resolver as integrais: integral(x^2+2 x) exp (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(x^2+2x) e^x dx usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui onde temos um polinômio (x^2+2x) multiplicado por uma função exponencial e^x. Para aplicar a integração por partes, vamos precisar lembrar da fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da expressão vai ser u e qual vai ser dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivar, e dv como a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:
u = x^2 + 2x e dv = e^x dx
Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx(x^2 + 2x) dx = (2x + 2) dx
v = integral e^x dx = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral(x^2+2x) e^x dx = uv - integral v , du
= (x^2 + 2x) e^x - integral e^x (2x + 2) dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral integral e^x (2x + 2) dx. Vamos simplificar isso retirando o 2:
integral e^x (2x + 2) dx = 2 integral e^x (x + 1) dx

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes de novo nessa nova integral. Desta vez, escolhemos:
u = x + 1 e dv = e^x dx
Calculando du e v:
du = ddx(x + 1) dx = dx
v = integral e^x dx = e^x

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral (x + 1) e^x dx = uv - integral v , du
= (x + 1) e^x - integral e^x dx
= (x + 1) e^x - e^x + C
= x e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral(x^2+2x) e^x dx = (x^2 + 2x) e^x - 2 integral (x + 1) e^x dx
= (x^2 + 2x) e^x - 2 (x e^x)
= x^2 e^x + 2x e^x - 2x e^x
= x^2 e^x + C

Resposta

A integral integral(x^2+2x) e^x dx é igual a x^2 e^x + C, onde C é a constante de integração.
integral(x^2+2x) e^x dx = x^2 e^x + C

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