Use integração por partes para resolver as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui onde temos um polinômio
multiplicado por uma função exponencial
. Para aplicar a integração por partes, vamos precisar lembrar da fórmula:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da expressão vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar, e
como a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos simplificar isso retirando o 2:
Passo 5
Vamos aplicar integração por partes de novo nessa nova integral. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Use integração por partes para resolver as integrais: