Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função
e também o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções exponenciais e derivadas parciais.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função
. A função exponencial
está definida para todos os valores de
. Além disso, a multiplicação por
não impõe nenhuma restrição adicional. Portanto, a função
está definida para todos os números reais de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. As derivadas parciais são as taxas de variação de
em relação a cada uma das variáveis
e
, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio de cada uma das derivadas parciais.
Para
:
A função exponencial está definida para todos os valores de
, e não há restrições para
. Portanto, o domínio dessa derivada parcial é todo o conjunto de números reais para
e
.
A função exponencial
Para
:
Novamente, a função exponencial está definida para todos os
, e a multiplicação por
não impõe restrições adicionais. Assim, o domínio dessa derivada parcial também é todo o conjunto de números reais para
e
.
Novamente, a função exponencial
Resposta
O domínio da função
e de suas derivadas parciais de primeira ordem é todo o conjunto dos números reais
.
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