Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função e também o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções exponenciais e derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função . A função exponencial está definida para todos os valores de . Além disso, a multiplicação por não impõe nenhuma restrição adicional. Portanto, a função está definida para todos os números reais de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . As derivadas parciais são as taxas de variação de em relação a cada uma das variáveis e , mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio de cada uma das derivadas parciais.
Para :
A função exponencial está definida para todos os valores de , e não há restrições para . Portanto, o domínio dessa derivada parcial é todo o conjunto de números reais para e .
Para :
Novamente, a função exponencial está definida para todos os , e a multiplicação por não impõe restrições adicionais. Assim, o domínio dessa derivada parcial também é todo o conjunto de números reais para e .

Resposta

O domínio da função e de suas derivadas parciais de primeira ordem é todo o conjunto dos números reais .

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