Resolva as integrais das funções racionais: integral x d x(x+1)(x+3)(x+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso é uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, a gente vai usar frações parciais, uma técnica que quebra a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x(x+1)(x+3)(x+5) = Ax+1 + Bx+3 + Cx+5 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de três frações menores:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x = A(x+3)(x+5) + B(x+1)(x+5) + C(x+1)(x+3) , -1 = A(-1+3)(-1+5) Rightarrow -1 = A(2)(4) Rightarrow -1 = 8A Rightarrow A = -18 e -3 = B(-3+1)(-3+5) Rightarrow -3 = B(-2)(2) Rightarrow -3 = -4B Rightarrow B = 34 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum -5 = C(-5+1)(-5+3) Rightarrow -5 = C(-4)(-2) Rightarrow -5 = 8C Rightarrow C = -58 :
Agora, vamos escolher valores específicos de para simplificar e resolver para , e .
  • Escolhendo :
  • Escolhendo :
  • Escolhendo :
Então, os valores são , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de x(x+1)(x+3)(x+5) = -18cdot1x+1 + 34cdot1x+3 - 58cdot1x+5 , e , vamos substituir de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral x, dx(x+1)(x+3)(x+5) = -18 integral 1x+1, dx + 34 integral 1x+3, dx - 58 integral 1x+5, dx
As integrais de integral 1x+a, dx = ln|x+a| + C são bem conhecidas e resultam no logaritmo natural:
-18 ln|x+1| + 34 ln|x+3| - 58 ln|x+5| + C
Aplicando isso, temos:

Resposta

A integral de -18 ln|x+1| + 34 ln|x+3| - 58 ln|x+5| + C é:

Exercícios relacionados