Resolva as integrais das funções racionais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso é uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, a gente vai usar frações parciais, uma técnica que quebra a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de três frações menores:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores específicos de para simplificar e resolver para , e .
  • Escolhendo :
  • Escolhendo :
  • Escolhendo :
Então, os valores são , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de , e , vamos substituir de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de são bem conhecidas e resultam no logaritmo natural:
Aplicando isso, temos:

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
b)
Resolva as integrais contendo um trinômio :
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Determine, se existir, os limites à seguir: ,