Resolva as integrais das funções racionais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso é uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, a gente vai usar frações parciais, uma técnica que quebra a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de três frações menores:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores específicos de
para simplificar e resolver para
,
e
.
-
Escolhendo
: -
Escolhendo
: -
Escolhendo
:
Então, os valores são
,
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
e
, vamos substituir de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de
são bem conhecidas e resultam no logaritmo natural:
Aplicando isso, temos:
Resposta
A integral de
é:
Exercícios relacionados
Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
b)
b)
Resolva as integrais contendo um trinômio
:
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Determine, se existir, os limites à seguir:
,