Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre onde funções complexas são diferenciáveis. Vamos precisar entender sobre funções polinomiais, exponenciais complexas e o logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função individualmente para ver onde elas são diferenciáveis.

Passo 3

A primeira parte é . Funções polinomiais como essa são diferenciáveis em todo o plano complexo, ou seja, para qualquer em .

Passo 4

A segunda parte é . A função exponencial complexa é inteira, o que significa que ela é diferenciável em todo o plano complexo. Portanto, também é diferenciável para qualquer em .

Passo 5

A terceira parte é . Aqui, temos o logaritmo complexo, que não é definido para todos os números complexos. O logaritmo complexo é definido em todo o plano complexo, exceto na linha negativa do eixo real (geralmente escolhida como o corte de ramo), onde a função não é contínua. Além disso, o logaritmo complexo tem uma descontinuidade na linha negativa, o que significa que não é diferenciável nessa região.

Passo 6

Juntando tudo, a função será diferenciável onde todas as suas partes são diferenciáveis. Como e são diferenciáveis em todo o plano complexo, o ponto crítico é onde não é diferenciável, ou seja, na linha negativa do eixo real.

Passo 7

Portanto, a função é diferenciável em todo o plano complexo , exceto quando está na linha negativa do eixo real.

Resposta

A função é diferenciável para todo no plano complexo, exceto quando está na linha negativa do eixo real. Ou seja, o domínio de diferenciabilidade é:

Exercícios relacionados

Escreva o valor principal do logaritmo na forma .
(b)
Hallar las derivadas parciales de:
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas. e
Determine todos os valores da potência complexa dada.
(a)