Determine um domínio em que a função
dada é diferenciável.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre onde funções complexas são diferenciáveis. Vamos precisar entender sobre funções polinomiais, exponenciais complexas e o logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função
individualmente para ver onde elas são diferenciáveis.
Passo 3
A primeira parte é
. Funções polinomiais como essa são diferenciáveis em todo o plano complexo, ou seja, para qualquer
em
.
Passo 4
A segunda parte é
. A função exponencial complexa é inteira, o que significa que ela é diferenciável em todo o plano complexo. Portanto,
também é diferenciável para qualquer
em
.
Passo 5
A terceira parte é
. Aqui, temos o logaritmo complexo, que não é definido para todos os números complexos. O logaritmo complexo
é definido em todo o plano complexo, exceto na linha negativa do eixo real (geralmente escolhida como o corte de ramo), onde a função não é contínua. Além disso, o logaritmo complexo tem uma descontinuidade na linha negativa, o que significa que não é diferenciável nessa região.
Passo 6
Juntando tudo, a função
será diferenciável onde todas as suas partes são diferenciáveis. Como
e
são diferenciáveis em todo o plano complexo, o ponto crítico é onde
não é diferenciável, ou seja, na linha negativa do eixo real.
Passo 7
Portanto, a função
é diferenciável em todo o plano complexo
, exceto quando
está na linha negativa do eixo real.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
no plano complexo, exceto quando
está na linha negativa do eixo real. Ou seja, o domínio de diferenciabilidade é:
Exercícios relacionados
Escreva o valor principal do logaritmo na forma
.
(b)
(b)
Hallar las derivadas parciales de:
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
e
Determine todos os valores da potência complexa dada.
(a)
(a)