Escreva o valor principal do logaritmo na forma .
(b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor principal do logaritmo do número complexo e expressar esse logaritmo na forma , onde e são números reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, formas polar e retangular, além das propriedades dos logaritmos de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Para facilitar, vamos converter o número complexo para sua forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde é o módulo e é o argumento do número complexo.

Passo 3

Calculando o módulo de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento :
Então, a forma polar de é:

Passo 5

Usando a fórmula de De Moivre para elevar o número complexo à potência 5:

Passo 6

Convertendo de volta para a forma retangular:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos calcular o logaritmo principal de . Para isso, novamente convertemos para a forma polar:
Calculando o módulo:
Calculando o argumento :
Então, temos:

Resposta

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Hallar las derivadas parciales de:
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)
Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(a)
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas. e