Determine todos os valores da potência complexa dada.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os valores da potência complexa . Aqui, estamos lidando com números complexos e exponenciação na forma complexa. Para resolver isso, vamos precisar utilizar a representação exponencial de números complexos e a fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma exponencial usando a fórmula de Euler:
No nosso caso, e . Então, vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que o logaritmo de um número negativo no campo complexo pode ser expresso como:
é
Isso porque para qualquer inteiro .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de exponenciação complexa:
Aqui, multiplicamos por , lembrando que .

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
Isso mostra que existem infinitos valores para essa potência complexa, dependendo do valor escolhido para , que é qualquer inteiro.

Resposta

Todos os valores de são dados por , onde é qualquer inteiro.

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Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas. e
Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(a)
Seja um número complexo fixado, com . Observe que é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante para que tenha somente um único valor?