Determine todos os valores da potência complexa dada.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os valores da potência complexa
. Aqui, estamos lidando com números complexos e exponenciação na forma complexa. Para resolver isso, vamos precisar utilizar a representação exponencial de números complexos e a fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma exponencial usando a fórmula de Euler:
No nosso caso,
e
. Então, vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que o logaritmo de um número negativo no campo complexo pode ser expresso como:
Isso porque
para qualquer inteiro
.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de exponenciação complexa:
Aqui, multiplicamos
por
, lembrando que
.
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso mostra que existem infinitos valores para essa potência complexa, dependendo do valor escolhido para
, que é qualquer inteiro.
Resposta
Todos os valores de
são dados por
, onde
é qualquer inteiro.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
e
Determine um domínio em que a função
dada é diferenciável.
(a)
(a)
Seja
um número complexo fixado, com
. Observe que
é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante
para que
tenha somente um único valor?