Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área que está dentro das duas curvas dadas por
e
. A gente vai usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas em coordenadas polares. Vamos precisar entender como calcular a área entre curvas polares e encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando
.
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então,
Portanto, as interseções acontecem quando
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo entre as interseções para saber qual expressão usar na fórmula da área.
Vamos escolher um valor de
entre
e
(por exemplo,
):
Então, entre
e
,
está acima de
.
Entre
e
,
está acima de
, e assim por diante.
Passo 4
A área entre duas curvas polares
e
de
a
é dada por:
No nosso caso, precisamos somar as áreas de cada uma das regiões onde uma curva está acima da outra.
Passo 5
Devido à simetria das curvas
e
, podemos calcular a área de uma seção e multiplicar pelo número de seções iguais que existem no gráfico completo.
Vamos calcular a área entre
e
onde
está acima:
Usando a identidade
, simplificamos:
Passo 6
Como temos 4 seções iguais no gráfico completo, a área total será:
Resposta
A área da região que está dentro de ambas as curvas é
unidades de área.