Resolva a equação:(x+3)! + (x+2)! = 8 (x+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação (x+3)! + (x+2)! = 8 (x+1)!. Nessa questão, trabalhamos com fatorial, que é o produto de um número inteiro positivo por todos os anteriores a ele até 1. Para resolver, vamos simplificar os fatoriais e encontrar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (n)! = n times (n-1)!. Usando isso, podemos reescrever os termos da equação:
(x+3)! = (x+3) times (x+2)! (x+2)! = (x+2) times (x+1)!

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
(x+3) times (x+2)! + (x+2) times (x+1)! = 8 times (x+1)!

Passo 4

Agora, vamos fatorar (x+1)! dos dois lados da equação:
(x+3) times (x+2) times (x+1)! + (x+2) times (x+1)! = 8 times (x+1)!
[(x+3)(x+2) + (x+2)] times (x+1)! = 8 times (x+1)!

Passo 5

Podemos dividir ambos os lados da equação por (x+1)!, desde que (x+1)! neq 0:
(x+3)(x+2) + (x+2) = 8

Passo 6

Fatorando (x+2):
(x+2)(x+3 + 1) = 8 (x+2)(x+4) = 8

Passo 7

Agora, desenvolvemos a expressão:
x^2 + 6x + 8 = 8
Subtraindo 8 de ambos os lados:
x^2 + 6x = 0

Passo 8

Fatorando x:
x(x + 6) = 0
Então, as soluções são:
x = 0 ou x = -6

Passo 9

Como o fatorial só é definido para inteiros não negativos ( x + 1 >= 0), descartamos x = -6. Portanto, a única solução válida é:

Resposta

x = 0

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