Resolva a equação:(x+3)! + (x+2)! = 8 (x+1)!
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Nessa questão, trabalhamos com fatorial, que é o produto de um número inteiro positivo por todos os anteriores a ele até 1. Para resolver, vamos simplificar os fatoriais e encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Usando isso, podemos reescrever os termos da equação:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
dos dois lados da equação:
Passo 5
Podemos dividir ambos os lados da equação por
, desde que
:
Passo 6
Fatorando
:
Passo 7
Agora, desenvolvemos a expressão:
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Passo 8
Fatorando
:
Então, as soluções são:
Passo 9
Como o fatorial só é definido para inteiros não negativos (
), descartamos
. Portanto, a única solução válida é: