Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio da função
. Estamos trabalhando com funções logarítmicas e precisamos descobrir quais valores de
tornam essa função válida. Para isso, vamos precisar analisar duas coisas: as condições para o logaritmo existir e garantir que a base e o argumento do logaritmo estejam dentro dos requisitos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um logaritmo da forma
existir, duas condições devem ser satisfeitas:
- A base
deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, e . - O argumento
deve ser positivo, ou seja, .
No nosso caso, a base é
e o argumento é
.
Passo 3
Vamos começar analisando a base do logaritmo:
Isso significa que
Além disso, a base não pode ser igual a 1:
Resolvendo:
Então, para a base, temos que
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o argumento do logaritmo:
Para resolver essa inequação quadrática, vamos encontrar as raízes da equação associada
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos determinar onde a parábola
está acima do eixo x. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, então a expressão será positiva fora das raízes.
Portanto,
para
ou
.
Passo 6
Agora, precisamos combinar as condições da base e do argumento para encontrar o domínio da função:
-
e . -
ou .
Vamos analisar intervalos que satisfazem ambas as condições:
- Para
, temos que e . Então, o intervalo válido é , excluindo . - Para
, também satisfazemos e .
Resposta
O domínio da função é
com
ou
. Em intervalos, fica:
Exercícios relacionados
(UFOP) Resolva a inequação
e determine o seu conjunto solução.
(UFJF)Dada a equação
, podemos afirmar que sua solução é um número:
a.
b.
c.
d. é par
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Considerando que
e
, qual o de
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos onde
e
são reais positivos:
(a) .
(b)
©
(a)
(b)
©