Determine o domínio da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o domínio da função . Estamos trabalhando com funções logarítmicas e precisamos descobrir quais valores de tornam essa função válida. Para isso, vamos precisar analisar duas coisas: as condições para o logaritmo existir e garantir que a base e o argumento do logaritmo estejam dentro dos requisitos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um logaritmo da forma existir, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. A base deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, e .
  2. O argumento deve ser positivo, ou seja, .
No nosso caso, a base é e o argumento é .

Passo 3

Vamos começar analisando a base do logaritmo:

Isso significa que .
Além disso, a base não pode ser igual a 1:

Resolvendo: .
Então, para a base, temos que e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o argumento do logaritmo:
.
Para resolver essa inequação quadrática, vamos encontrar as raízes da equação associada .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos determinar onde a parábola está acima do eixo x. Como o coeficiente de é positivo, a parábola abre para cima, então a expressão será positiva fora das raízes.
Portanto, para ou .

Passo 6

Agora, precisamos combinar as condições da base e do argumento para encontrar o domínio da função:
  1. e .
  2. ou .
Vamos analisar intervalos que satisfazem ambas as condições:
  • Para , temos que e . Então, o intervalo válido é , excluindo .
  • Para , também satisfazemos e .

Resposta

O domínio da função é com ou . Em intervalos, fica:

Exercícios relacionados

(UFOP) Resolva a inequação
e determine o seu conjunto solução.
(UFJF)Dada a equação , podemos afirmar que sua solução é um número:
a.
b.
c.
d. é par
e.
Considerando que e , qual o de :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos onde e são reais positivos:
(a) .
(b)
©