(UFOP) Resolva a inequação
e determine o seu conjunto solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação . Isso está relacionado ao conteúdo de funções logarítmicas e inequações. Para resolver, a gente vai precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como resolver desigualdades envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o logaritmo só é definido para números positivos. Então, para que e existam, precisamos que:
Isso significa que:
Como já satisfaz , nosso domínio de definição é .

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso na nossa inequação:
Então, a inequação fica:

Passo 4

Para resolver , vamos reescrever a inequação exponencialmente. Sabemos que é equivalente a quando . Aqui, a base é 2, que é maior que 1, então:

Passo 5

Vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a inequação fica:

Passo 6

Subtraímos 2 de ambos os lados para deixar a inequação igual a zero:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a inequação quadrática . Vamos encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 8

A inequação tem soluções entre as raízes. Portanto:

Passo 9

Lembrando do nosso domínio de definição que é , vamos combinar isso com a solução da inequação:
A interseção dessas condições é:

Resposta

O conjunto solução da inequação é .

Exercícios relacionados

(UFJF)Dada a equação , podemos afirmar que sua solução é um número:
a.
b.
c.
d. é par
e.
Esboce o gráfico de e obtenha o gráfico de a partir do gráfico de , descreva como fez esta construção.
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
f) e
Determine o domínio da função .
Considerando que e , qual o de :
(a)
(b)
©
(d)
(e)