(UFOP) Resolva a inequação
e determine o seu conjunto solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções logarítmicas e inequações. Para resolver, a gente vai precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como resolver desigualdades envolvendo logaritmos.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o logaritmo só é definido para números positivos. Então, para que
e
existam, precisamos que:
Isso significa que:
Como
já satisfaz
, nosso domínio de definição é
.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso na nossa inequação:
Então, a inequação fica:
Passo 4
Para resolver
, vamos reescrever a inequação exponencialmente. Sabemos que
é equivalente a
quando
. Aqui, a base é 2, que é maior que 1, então:
Passo 5
Vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Subtraímos 2 de ambos os lados para deixar a inequação igual a zero:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a inequação quadrática
. Vamos encontrar as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 8
A inequação
tem soluções entre as raízes. Portanto:
Passo 9
Lembrando do nosso domínio de definição que é
, vamos combinar isso com a solução da inequação:
A interseção dessas condições é:
Resposta
O conjunto solução da inequação é
.