Determine o domínio da função
, no universo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
no intervalo
. O domínio de uma função é basicamente todos os valores de
que fazem a função “funcionar”, ou seja, que não causam nenhum problema, tipo divisão por zero ou raíz de número negativo. Aqui, a gente tem uma raiz quadrada e uma função seno, então vamos precisar entender como elas se comportam para garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só está definida para números que são maiores ou iguais a zero. Então, para a função
estar definida, o que está dentro da raiz, que é
, precisa ser maior ou igual a zero. Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação. A função seno é positiva nos intervalos onde o ângulo está entre
e
dentro de um ciclo
. Como o argumento da função seno aqui é
, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem:
E dentro desse intervalo,
.
Passo 4
Vamos identificar os intervalos onde
para
entre
e
. Sabemos que o seno é positivo de
a
e negativo de
a
. Aplicando isso ao nosso caso:
Agora, vamos resolver essa desigualdade para
:
Passo 5
Então, o domínio da função
são todos os valores de
que estão entre
e
, dentro do intervalo dado inicialmente de
. Isso significa que:
Mas como estamos limitados ao intervalo
, ajustamos para:
Resposta
O domínio da função
é:
Exercícios relacionados
Suponha que
, para todo
suficientemente próximo de 1. Mostre que
é contínua em
.
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(b)
(a)
(b)
Determine o valor de
de modo que a função
abaixo seja contínua:
Na Teoria da Relatividade, a massa
de uma partícula com velocidade
é dada por
onde
é a massa da partícula em repouso
e
é a velocidade da luz
. O que acontece quando
? Por que é necessário o limite à esquerda?