Determine o domínio da função , no universo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função no intervalo . O domínio de uma função é basicamente todos os valores de que fazem a função “funcionar”, ou seja, que não causam nenhum problema, tipo divisão por zero ou raíz de número negativo. Aqui, a gente tem uma raiz quadrada e uma função seno, então vamos precisar entender como elas se comportam para garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só está definida para números que são maiores ou iguais a zero. Então, para a função estar definida, o que está dentro da raiz, que é , precisa ser maior ou igual a zero. Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação. A função seno é positiva nos intervalos onde o ângulo está entre e dentro de um ciclo . Como o argumento da função seno aqui é , precisamos encontrar os valores de que satisfazem:
E dentro desse intervalo, .

Passo 4

Vamos identificar os intervalos onde para entre e . Sabemos que o seno é positivo de a e negativo de a . Aplicando isso ao nosso caso:
Agora, vamos resolver essa desigualdade para :

Passo 5

Então, o domínio da função são todos os valores de que estão entre e , dentro do intervalo dado inicialmente de . Isso significa que:
Mas como estamos limitados ao intervalo , ajustamos para:

Resposta

O domínio da função é:

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Suponha que , para todo suficientemente próximo de 1. Mostre que é contínua em .
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(b)
Determine o valor de de modo que a função abaixo seja contínua:
Na Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula com velocidade é dada por
onde é a massa da partícula em repouso e é a velocidade da luz . O que acontece quando ? Por que é necessário o limite à esquerda?