Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por partes e precisamos descobrir em quais pontos elas são contínuas. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e verificar se não tem nenhum “buraco” ou “salto” nas funções.
Passo 2
Vamos começar com a função (a):
A continuidade de uma função em um ponto depende de três coisas:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite pela esquerda existe.
- O limite pela direita existe e é igual ao limite pela esquerda e ao valor da função.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar os intervalos separados:
- Para
, a função é . Essa é uma função linear, que é contínua em todo lugar. - Para
, a função é . Essa é uma função constante, também contínua em todo lugar.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde a definição muda, que é
:
- Valor da função em
: . - Limite pela esquerda (
): . - Limite pela direita (
): .
Passo 5
Comparando os limites e o valor da função:
- O limite pela esquerda é 2, o limite pela direita é 1, mas o valor da função é 2.
- Como os limites laterais são diferentes, a função tem um salto em
, ou seja, é descontínua nesse ponto.
Passo 6
Então, juntando tudo:
- A função é contínua em todos os pontos exceto em
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a função (b):
A abordagem será a mesma da função (a), já que elas são definidas de forma semelhante.
Passo 8
Primeiro, observamos os intervalos:
- Para
, , que é contínua. - Para
, , também contínua.
Passo 9
Vamos verificar a continuidade em
:
- Valor da função em
: . - Limite pela esquerda (
): . - Limite pela direita (
): .
Passo 10
Como os limites laterais são diferentes (
), a função tem uma descontinuidade em
.
Passo 11
Portanto, a função é contínua em todos os pontos menos em
.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função (b) é todos os reais exceto
:
Exercícios relacionados
Calcule o valor dos seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine
de modo que exista o arco que satisfaz a igualdade
.
Suponha que
, para todo
suficientemente próximo de 1. Mostre que
é contínua em
.
Determine o domínio da função
, no universo
.