Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a) f(x) = { 2x, se x <= 1; 1, se x > 1 }
(b) f(x) = { 2x, se x <= 1; 1, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por partes e precisamos descobrir em quais pontos elas são contínuas. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e verificar se não tem nenhum “buraco” ou “salto” nas funções.

Passo 2

Vamos começar com a função (a):
A continuidade de uma função em um ponto depende de três coisas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite pela esquerda existe.
  3. O limite pela direita existe e é igual ao limite pela esquerda e ao valor da função.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar os intervalos separados:
  • Para , a função é . Essa é uma função linear, que é contínua em todo lugar.
  • Para , a função é . Essa é uma função constante, também contínua em todo lugar.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde a definição muda, que é :
  • Valor da função em : .
  • Limite pela esquerda ( ): .
  • Limite pela direita ( ): .

Passo 5

Comparando os limites e o valor da função:
  • O limite pela esquerda é 2, o limite pela direita é 1, mas o valor da função é 2.
  • Como os limites laterais são diferentes, a função tem um salto em , ou seja, é descontínua nesse ponto.

Passo 6

Então, juntando tudo:
  • A função é contínua em todos os pontos exceto em .

Passo 7

Agora, vamos analisar a função (b):
A abordagem será a mesma da função (a), já que elas são definidas de forma semelhante.

Passo 8

Primeiro, observamos os intervalos:
  • Para , , que é contínua.
  • Para , , também contínua.

Passo 9

Vamos verificar a continuidade em :
  • Valor da função em : .
  • Limite pela esquerda ( ): .
  • Limite pela direita ( ): .

Passo 10

Como os limites laterais são diferentes ( ), a função tem uma descontinuidade em .

Passo 11

Portanto, a função é contínua em todos os pontos menos em .

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade da função (b) é todos os reais exceto :

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