Suponha que
, para todo
suficientemente próximo de 1. Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, rapaz! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função
é contínua em
. A matéria que estamos lidando aqui é análise de limites e continuidade de funções. Para isso, vamos usar a desigualdade dada:
. Precisamos entender como essa desigualdade nos ajuda a provar a continuidade de
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Ou seja,
Então, para mostrar que
é contínua em
, precisamos mostrar que
Passo 3
Vamos analisar a desigualdade que nos foi dada:
Essa desigualdade nos diz que a diferença entre
e
é, no máximo,
vezes
. Para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 1, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por
:
Passo 4
Agora, vamos considerar o limite de ambos os lados quando
se aproxima de 1:
Sabemos que
, porque
se aproxima de zero quando
se aproxima de 1.
Passo 5
Portanto, temos:
Isso implica que:
E, consequentemente:
Resposta
Assim, mostramos que
, o que significa que a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(b)
(a)
(b)
Calcule o valor dos seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine o domínio da função
, no universo
.
Determine o valor de
de modo que a função
abaixo seja contínua: