Suponha que |f(x) - f(1)| <= raiz(2) * (x - 1)^2, para todo x suficientemente próximo de 1. Mostre que f é contínua em x = 1.

Passo 1

Beleza, rapaz! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função é contínua em . A matéria que estamos lidando aqui é análise de limites e continuidade de funções. Para isso, vamos usar a desigualdade dada: . Precisamos entender como essa desigualdade nos ajuda a provar a continuidade de em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual a . Ou seja,
Então, para mostrar que é contínua em , precisamos mostrar que

Passo 3

Vamos analisar a desigualdade que nos foi dada:
Essa desigualdade nos diz que a diferença entre e é, no máximo, vezes . Para encontrar o limite de quando se aproxima de 1, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por :

Passo 4

Agora, vamos considerar o limite de ambos os lados quando se aproxima de 1:
Sabemos que , porque se aproxima de zero quando se aproxima de 1.

Passo 5

Portanto, temos:
Isso implica que:
E, consequentemente:

Resposta

Assim, mostramos que , o que significa que a função é contínua em .

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