Determine o valor de
de modo que a função
abaixo seja contínua:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas diferentes:
- Para
, . - Para
, .
Queremos encontrar o valor de
que faz com que a função
seja contínua em
. Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Para garantir a continuidade em
, precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Podemos reescrever essa expressão para facilitar o cálculo:
Passo 4
Sabemos de limites fundamentais que:
onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso limite:
Então,
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o domínio da função
, no universo
.
Suponha que
, para todo
suficientemente próximo de 1. Mostre que
é contínua em
.
Na Teoria da Relatividade, a massa
de uma partícula com velocidade
é dada por
onde
é a massa da partícula em repouso
e
é a velocidade da luz
. O que acontece quando
? Por que é necessário o limite à esquerda?
Quão grande devemos tornar
para que
?