Determine o valor de de modo que a função abaixo seja contínua:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes:
  • Para , .
  • Para , .
Queremos encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Para garantir a continuidade em , precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Podemos reescrever essa expressão para facilitar o cálculo:

Passo 4

Sabemos de limites fundamentais que:
onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso limite:
Então,

Resposta

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função , no universo .
Suponha que , para todo suficientemente próximo de 1. Mostre que é contínua em .
Na Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula com velocidade é dada por
onde é a massa da partícula em repouso e é a velocidade da luz . O que acontece quando ? Por que é necessário o limite à esquerda?
Quão grande devemos tornar para que ?