Determine o valor de xi de modo que a função f abaixo seja contínua:
f(x) = { sen(3x) / (5x), para x ≠ 0 ; ξ, para x = 0 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função f(x) definida de duas formas diferentes:
  • Para x != 0, .
  • Para x = 0, .
Queremos encontrar o valor de xi que faz com que a função f(x) seja contínua em x = 0. Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando x se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Para garantir a continuidade em x = 0, precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando x se aproxima de 0 deve ser igual a xi.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Podemos reescrever essa expressão para facilitar o cálculo:

Passo 4

Sabemos de limites fundamentais que:
onde k é uma constante. No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso limite:
Então,

Resposta

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