Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
, classificar cada ponto como máximo ou mínimo, além de determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo e se há pontos de inflexão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente as derivadas da função. As derivadas nos ajudam a entender o comportamento da função, como onde ela cresce ou decresce e sua concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A primeira derivada,
, nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, onde a função está subindo ou descendo.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. A derivada de uma constante, como 1, é 0. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a primeira derivada é zero (
) ou não existe. Como nossa derivada existe para todo
, vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada
, que nos diz sobre a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos.
- Para
:
Quando
, a função é côncava para cima, indicando um mínimo local.
- Para
:
Quando
, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.
Então,
é um mínimo e
é um máximo.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, observamos a segunda derivada
.
- Concavidade para cima ocorre quando
. - Concavidade para baixo ocorre quando
. - Ponto de inflexão é onde a concavidade muda, ou seja, onde
.
Vamos resolver
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Agora, vamos determinar os intervalos:
- Para
:
- Para
:
Resposta
-
Pontos críticos:
-
é um mínimo local. -
é um máximo local.
-
-
Concavidade:
- Concavo para baixo no intervalo
. - Concavo para cima no intervalo
.
- Concavo para baixo no intervalo
-
Ponto de inflexão:
- Em
.
- Em
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. Mediante cálculo de limites, determine as assíntotas (verticais e horizontais).