Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função , classificar cada ponto como máximo ou mínimo, além de determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo e se há pontos de inflexão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente as derivadas da função. As derivadas nos ajudam a entender o comportamento da função, como onde ela cresce ou decresce e sua concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A primeira derivada, , nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, onde a função está subindo ou descendo.
A derivada de é e a derivada de é . A derivada de uma constante, como 1, é 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de onde a primeira derivada é zero ( ) ou não existe. Como nossa derivada existe para todo , vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada , que nos diz sobre a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos.
  1. Para :
Quando , a função é côncava para cima, indicando um mínimo local.
  1. Para :
Quando , a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.
Então, é um mínimo e é um máximo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, observamos a segunda derivada .
  • Concavidade para cima ocorre quando .
  • Concavidade para baixo ocorre quando .
  • Ponto de inflexão é onde a concavidade muda, ou seja, onde .
Vamos resolver :
Então, há um ponto de inflexão em .
Agora, vamos determinar os intervalos:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

  • Pontos críticos:
    • é um mínimo local.
    • é um máximo local.
  • Concavidade:
    • Concavo para baixo no intervalo .
    • Concavo para cima no intervalo .
  • Ponto de inflexão:
    • Em .

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