Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar o domínio da função
, que é uma função definida por partes. Isso significa que a função tem fórmulas diferentes dependendo de certas condições sobre
e
. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e descobrir para quais valores de
e
cada parte é válida. Vamos precisar entender sobre domínio de funções de duas variáveis e como interpretar as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função:
Aqui, temos um polinômio que está definido para todos os
e
que satisfazem a condição
. Essa condição descreve um círculo de raio 2 centrado na origem no plano
. Portanto, para essa parte da função, o domínio é o conjunto de todos os pontos dentro ou na borda desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função:
Aqui, temos uma expressão que envolve uma raiz quadrada. Para que a expressão dentro da raiz seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Isso simplifica para:
Ou seja,
. Geometricamente, isso representa as regiões onde
está mais afastado do que
no plano
, formando duas regiões simétricas em relação ao eixo
.
Passo 4
Além disso, a condição
nos diz que estamos fora ou na borda do círculo de raio 2 centrado na origem. Então, combinando as duas condições para a segunda parte da função, o domínio dessa parte é onde:
- Estamos fora ou na borda do círculo de raio 2, e
- A distância em
é maior ou igual à distância em .
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, o domínio total da função
é a união dos dois conjuntos:
- Todos os pontos dentro ou na borda do círculo de raio 2.
- Todos os pontos fora ou na borda do círculo de raio 2 onde
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
no plano onde
ou
e
.