Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio) h(x, y) = { 6 - x^2 - y^2, x^2 + y^2 <= 4 ; 4 - raiz(x^2 - y^2), x^2 + y^2 >= 4 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar o domínio da função , que é uma função definida por partes. Isso significa que a função tem fórmulas diferentes dependendo de certas condições sobre e . Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e descobrir para quais valores de e cada parte é válida. Vamos precisar entender sobre domínio de funções de duas variáveis e como interpretar as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função:
Aqui, temos um polinômio que está definido para todos os e que satisfazem a condição . Essa condição descreve um círculo de raio 2 centrado na origem no plano . Portanto, para essa parte da função, o domínio é o conjunto de todos os pontos dentro ou na borda desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função:
Aqui, temos uma expressão que envolve uma raiz quadrada. Para que a expressão dentro da raiz seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Isso simplifica para:
Ou seja, . Geometricamente, isso representa as regiões onde está mais afastado do que no plano , formando duas regiões simétricas em relação ao eixo .

Passo 4

Além disso, a condição nos diz que estamos fora ou na borda do círculo de raio 2 centrado na origem. Então, combinando as duas condições para a segunda parte da função, o domínio dessa parte é onde:
  • Estamos fora ou na borda do círculo de raio 2, e
  • A distância em é maior ou igual à distância em .

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, o domínio total da função é a união dos dois conjuntos:
  1. Todos os pontos dentro ou na borda do círculo de raio 2.
  2. Todos os pontos fora ou na borda do círculo de raio 2 onde .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos no plano onde ou e .

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