Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo do valor de . Precisamos determinar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de e a função está definida. Além disso, devemos fazer um esboço desse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas partes da função e as condições associadas a cada uma delas.
  1. Primeira parte da função:
    Aqui, temos uma raiz quadrada, e para que ela seja definida, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero. Já a condição satisfaz essa exigência.
  2. Segunda parte da função:
    Novamente, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro deve ser não negativo:
    Além disso, a condição dada já impõe que seja pelo menos 16.

Passo 3

Agora, vamos juntar as duas partes para determinar o domínio completo da função.
  • Primeira parte:
  • Segunda parte:
Perceba que o valor está incluído nas duas condições, mas isso não é um problema porque estamos falando de desigualdades.

Passo 4

Portanto, o domínio da função é a união dos conjuntos que satisfazem cada uma das condições acima. Em termos matemáticos:
Simplificando, podemos dizer que o domínio é todo o conjunto de pontos tais que .

Passo 5

Para esboçar o domínio, imagine um plano cartesiano:
  1. Desenhe um círculo com raio 4 (já que ) centrado na origem. Este círculo representa o limite onde .
  2. Desenhe outro círculo com raio 5 (pois ) também centrado na origem.
O domínio da função será todo o espaço dentro e sobre o círculo de raio 5. Isso inclui o círculo interno de raio 4, já que os valores de e podem variar de 0 até 5.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos no plano cartesiano tais que . Em outras palavras, é o círculo de raio 5 centrado na origem, incluindo todos os pontos dentro dele.

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