Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio) f(x, y)=cc7-raizx^2+y^2, & 0 <= x^2+y^2 <= 16 raiz25-x^2-y^2, & 16 <= x^2+y^2 >= 25

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y), que é definida de forma diferente dependendo do valor de x^2 + y^2. Precisamos determinar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de x e y a função está definida. Além disso, devemos fazer um esboço desse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas partes da função e as condições associadas a cada uma delas.
  1. Primeira parte da função:
    f(x, y) = 7 - raizx^2 + y^2, onde 0 <= x^2 + y^2 <= 16
    Aqui, temos uma raiz quadrada, e para que ela seja definida, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero. Já a condição 0 <= x^2 + y^2 <= 16 satisfaz essa exigência.
  2. Segunda parte da função:
    f(x, y) = raiz25 - x^2 - y^2, onde 16 <= x^2 + y^2 <= 25
    Novamente, temos uma raiz quadrada, então o que está dentro deve ser não negativo:
    25 - x^2 - y^2 >= 0 Rightarrow x^2 + y^2 <= 25
    Além disso, a condição dada já impõe que x^2 + y^2 seja pelo menos 16.

Passo 3

Agora, vamos juntar as duas partes para determinar o domínio completo da função.
  • Primeira parte: 0 <= x^2 + y^2 <= 16
  • Segunda parte: 16 <= x^2 + y^2 <= 25
Perceba que o valor x^2 + y^2 = 16 está incluído nas duas condições, mas isso não é um problema porque estamos falando de desigualdades.

Passo 4

Portanto, o domínio da função f(x, y) é a união dos conjuntos que satisfazem cada uma das condições acima. Em termos matemáticos:
D = (x, y) in R^2 mid 0 <= x^2 + y^2 <= 16 cup (x, y) in R^2 mid 16 <= x^2 + y^2 <= 25
Simplificando, podemos dizer que o domínio é todo o conjunto de pontos (x, y) tais que 0 <= x^2 + y^2 <= 25.

Passo 5

Para esboçar o domínio, imagine um plano cartesiano:
  1. Desenhe um círculo com raio 4 (já que 16 = 4^2) centrado na origem. Este círculo representa o limite onde x^2 + y^2 = 16.
  2. Desenhe outro círculo com raio 5 (pois 25 = 5^2) também centrado na origem.
O domínio da função será todo o espaço dentro e sobre o círculo de raio 5. Isso inclui o círculo interno de raio 4, já que os valores de x e y podem variar de 0 até 5.

Resposta

O domínio da função f(x, y) é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cartesiano tais que 0 <= x^2 + y^2 <= 25. Em outras palavras, é o círculo de raio 5 centrado na origem, incluindo todos os pontos dentro dele.

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