Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o domínio da função . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de e para os quais essa função está definida. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas sobre os logaritmos e as raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função, que é . O logaritmo natural, , só está definido para argumentos positivos. Ou seja, para que faça sentido, precisamos que:
Isso já nos dá uma condição para o domínio.

Passo 3

Agora, vamos para o denominador, que é . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Simplificando isso, temos:
Isso representa o interior de um círculo com raio 2 no plano .

Passo 4

Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não está definida. Então, além de , também precisamos que:
Mas como já temos , essa condição já está satisfeita.

Passo 5

Então, reunindo todas as condições que encontramos:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pontos que estão acima da reta e dentro do círculo de raio 2 centrado na origem.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos tais que:

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