Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o domínio da função
. Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de
e
para os quais essa função está definida. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas sobre os logaritmos e as raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função, que é
. O logaritmo natural,
, só está definido para argumentos positivos. Ou seja, para que
faça sentido, precisamos que:
Isso já nos dá uma condição para o domínio.
Passo 3
Agora, vamos para o denominador, que é
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Simplificando isso, temos:
Isso representa o interior de um círculo com raio 2 no plano
.
Passo 4
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não está definida. Então, além de
, também precisamos que:
Mas como já temos
, essa condição já está satisfeita.
Passo 5
Então, reunindo todas as condições que encontramos:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pontos
que estão acima da reta
e dentro do círculo de raio 2 centrado na origem.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
tais que:
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