Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2

Passo 1

Na questão, precisamos determinar o limite, se existir, de . Vamos utilizar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, para verificar se o limite existe, vamos analisar o valor da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe; caso contrário, ele não existe.

Passo 3

Vamos considerar o caminho onde x cdot 0^2x^2+0^2 = 0x^2 = 0 . Substituindo na função:
Portanto, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos considerar um outro caminho, por exemplo, x cdot (k x)^2x^2 + (k x)^2 = x cdot k^2 x^2x^2(1 + k^2) = k^2 x^3x^2(1 + k^2) = k^2 x1 + k^2 , onde é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de , também se aproxima de .

Passo 5

Para uma análise mais geral, vamos usar coordenadas polares, onde r cos theta cdot (r sin theta)^2r^2 = r cos theta cdot r^2 sin^2 thetar^2 = r cos theta sin^2 theta e . Substituindo na função:
Quando tende a , o termo também tende a , independentemente do valor de .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados