Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Na questão, precisamos determinar o limite, se existir, de . Vamos utilizar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, para verificar se o limite existe, vamos analisar o valor da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe; caso contrário, ele não existe.

Passo 3

Vamos considerar o caminho onde . Substituindo na função:
Portanto, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos considerar um outro caminho, por exemplo, , onde é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de , também se aproxima de .

Passo 5

Para uma análise mais geral, vamos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Quando tende a , o termo também tende a , independentemente do valor de .

Resposta

O limite é .

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