Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Na questão, precisamos determinar o limite, se existir, de
. Vamos utilizar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, para verificar se o limite existe, vamos analisar o valor da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe; caso contrário, ele não existe.
Passo 3
Vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Portanto, ao longo do caminho
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar um outro caminho, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de
,
também se aproxima de
.
Passo 5
Para uma análise mais geral, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Quando
tende a
, o termo
também tende a
, independentemente do valor de
.
Resposta
O limite é
.
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