Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite de quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções seno se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o ângulo é bem pequeno, o seno de um valor próximo de zero pode ser aproximado pelo próprio valor. Ou seja, para valores pequenos de , temos que . Isso é super útil para simplificar expressões que envolvem funções trigonométricas perto de zero.

Passo 3

Aplicando essa aproximação na nossa expressão, temos que:
Então, substituindo na fração original:

Passo 4

Simplificando a fração:
Isso mostra que, para valores muito próximos de zero, a expressão inteira se aproxima de 1.

Passo 5

Como essa aproximação vale para valores de que se aproximam de , podemos concluir que o limite existe e é igual a 1.

Resposta

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