Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Beleza, vamos analisar o limite . Aqui, estamos lidando com um limite de uma função de duas variáveis. Precisamos descobrir se esse limite existe quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar de ao longo do eixo , ou seja, fixando . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos tentar nos aproximar de ao longo do eixo , fixando . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, também tende ao infinito.

Passo 4

Embora ambos os caminhos que testamos resultem em infinito, precisamos ter certeza de que o limite não depende do caminho seguido. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, . Substituindo na função:
Novamente, à medida que se aproxima de 0, tende ao infinito.

Passo 5

Apesar de todos os caminhos testados levarem a resultados semelhantes (tendendo ao infinito), isso não garante que o limite exista. Para afirmar que o limite não existe, é suficiente mostrar que ao menos dois caminhos diferentes levam a comportamentos divergentes.
No entanto, todos os caminhos testados estão levando o limite a mais ou menos o mesmo tipo de comportamento (tendendo ao infinito). Mas, em análise multivariada, quando o limite tende a infinito independentemente do caminho, dizemos que o limite é infinito.

Resposta

O limite é infinito, ou seja:

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