Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos analisar o limite
. Aqui, estamos lidando com um limite de uma função de duas variáveis. Precisamos descobrir se esse limite existe quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar nos aproximar de
ao longo do eixo
, ou seja, fixando
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos tentar nos aproximar de
ao longo do eixo
, fixando
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
também tende ao infinito.
Passo 4
Embora ambos os caminhos que testamos resultem em infinito, precisamos ter certeza de que o limite não depende do caminho seguido. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
Novamente, à medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito.
Passo 5
Apesar de todos os caminhos testados levarem a resultados semelhantes (tendendo ao infinito), isso não garante que o limite exista. Para afirmar que o limite não existe, é suficiente mostrar que ao menos dois caminhos diferentes levam a comportamentos divergentes.
No entanto, todos os caminhos testados estão levando o limite a mais ou menos o mesmo tipo de comportamento (tendendo ao infinito). Mas, em análise multivariada, quando o limite tende a infinito independentemente do caminho, dizemos que o limite é infinito.
Resposta
O limite é infinito, ou seja:
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