Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite ao longo de um caminho simples, como quando
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Então, quando
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos considerar um caminho diferente, onde
depende de
. Vamos escolher
, onde
é uma constante. Substituindo essa relação na função, obtemos:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito. Portanto, nesse caminho, o limite tende a infinito.
Passo 4
Observamos que ao seguir caminhos diferentes para se aproximar de
, obtemos resultados diferentes: 0 em um caminho e infinito em outro. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para a aproximação.
Resposta
Como os limites ao longo de diferentes caminhos não coincidem, o limite
não existe.
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