Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo de um caminho simples, como quando . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, quando , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente, onde depende de . Vamos escolher , onde é uma constante. Substituindo essa relação na função, obtemos:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, nesse caminho, o limite tende a infinito.

Passo 4

Observamos que ao seguir caminhos diferentes para se aproximar de , obtemos resultados diferentes: 0 em um caminho e infinito em outro. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para a aproximação.

Resposta

Como os limites ao longo de diferentes caminhos não coincidem, o limite não existe.

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