Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^3 yx^5+y^3

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo de um caminho simples, como quando x^3 cdot 0x^5 + 0^3 = 0x^5 = 0 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, quando , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente, onde x^3 cdot (k x^5/3)x^5 + (k x^5/3)^3 = k x^14/3x^5 + k^3 x^5 = k x^14/3x^5(1 + k^3) = k1 + k^3 cdot x^-1/3 depende de . Vamos escolher , onde é uma constante. Substituindo essa relação na função, obtemos:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito. Portanto, nesse caminho, o limite tende a infinito.

Passo 4

Observamos que ao seguir caminhos diferentes para se aproximar de , obtemos resultados diferentes: 0 em um caminho e infinito em outro. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para a aproximação.

Resposta

Como os limites ao longo de diferentes caminhos não coincidem, o limite não existe.

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