Esboce o gráfico da função f: R^2 longrightarrow R^2, definida por
f(x, y)=rrr -raizx^2+y^2-1, & se & x^2+y^2 >= 1 raiz1-x^2-y^2, & se & x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função definida de forma por partes. Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo de onde o ponto está no plano.
O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e onde cada parte é válida, ou seja, quais pontos pertencem a cada caso da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
  1. Quando f(x, y) = -raizx^2 + y^2 - 1 :
    f(x, y) = raiz1 - x^2 - y^2
  2. Quando :
Aqui, representa um círculo no plano com raio 1, centrado na origem. Esse círculo divide o plano em duas regiões: dentro ( ) e fora ( ).

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente.
Para f(x, y) = -raizx^2 + y^2 - 1 :
f(x, y) = raiz1 - x^2 - y^2
Aqui, a função retorna valores negativos e envolve uma raiz quadrada de , que só é real quando , ou seja, quando .
Para :
Nesta parte, a função retorna valores positivos e a raiz quadrada de , que é real quando .

Passo 4

Agora, vamos pensar em gráficos tridimensionais. A função associa a cada ponto um valor , formando uma superfície no espaço .
  • Para : A expressão representa a parte superior de uma esfera com raio 1, centrada na origem. Isso porque a equação completa da esfera seria , e ela está resolvida para positivo.
  • Para : A expressão pode ser vista como uma superfície que se afasta para baixo conforme e se afastam do centro. Basicamente, é uma função que decresce conforme a distância do ponto ao centro aumenta além do raio 1.

Passo 5

Vamos resumir:
  1. Dentro do círculo ( ): Temos a parte superior de uma esfera.
  2. Fora do círculo ( ): A função forma uma superfície que desce abaixo do plano e fica mais negativa conforme nos afastamos do centro.

Passo 6

Então, para esboçar o gráfico da função:
  • Desenhe um círculo com raio 1 no plano .
  • Dentro do círculo, plote a parte superior de uma esfera de raio 1.
  • Fora do círculo, desenhe uma superfície que desce abaixo do plano de forma contínua, conectando-se suavemente com a esfera no limite onde .
Isso resultará em uma forma que combina a parte superior de uma esfera com uma superfície cônica que se estende para baixo fora do círculo, formando uma transição suave no limite do círculo.

Resposta

O gráfico da função consiste na parte superior de uma esfera de raio 1 para pontos dentro do círculo e em uma superfície que desce abaixo do plano , conectando-se suavemente à esfera no limite . Assim, ao esboçar, você verá uma esfera na região central e uma extensão cônica para baixo fora desse círculo.

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