Esboce o gráfico da função , definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função definida de forma por partes. Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo de onde o ponto está no plano.
O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e onde cada parte é válida, ou seja, quais pontos pertencem a cada caso da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
  1. Quando :
  2. Quando :
Aqui, representa um círculo no plano com raio 1, centrado na origem. Esse círculo divide o plano em duas regiões: dentro ( ) e fora ( ).

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente.
Para :
Aqui, a função retorna valores negativos e envolve uma raiz quadrada de , que só é real quando , ou seja, quando .
Para :
Nesta parte, a função retorna valores positivos e a raiz quadrada de , que é real quando .

Passo 4

Agora, vamos pensar em gráficos tridimensionais. A função associa a cada ponto um valor , formando uma superfície no espaço .
  • Para : A expressão representa a parte superior de uma esfera com raio 1, centrada na origem. Isso porque a equação completa da esfera seria , e ela está resolvida para positivo.
  • Para : A expressão pode ser vista como uma superfície que se afasta para baixo conforme e se afastam do centro. Basicamente, é uma função que decresce conforme a distância do ponto ao centro aumenta além do raio 1.

Passo 5

Vamos resumir:
  1. Dentro do círculo ( ): Temos a parte superior de uma esfera.
  2. Fora do círculo ( ): A função forma uma superfície que desce abaixo do plano e fica mais negativa conforme nos afastamos do centro.

Passo 6

Então, para esboçar o gráfico da função:
  • Desenhe um círculo com raio 1 no plano .
  • Dentro do círculo, plote a parte superior de uma esfera de raio 1.
  • Fora do círculo, desenhe uma superfície que desce abaixo do plano de forma contínua, conectando-se suavemente com a esfera no limite onde .
Isso resultará em uma forma que combina a parte superior de uma esfera com uma superfície cônica que se estende para baixo fora do círculo, formando uma transição suave no limite do círculo.

Resposta

O gráfico da função consiste na parte superior de uma esfera de raio 1 para pontos dentro do círculo e em uma superfície que desce abaixo do plano , conectando-se suavemente à esfera no limite . Assim, ao esboçar, você verá uma esfera na região central e uma extensão cônica para baixo fora desse círculo.

Exercícios relacionados

Escreva as formas de decomposição em fraçōes parciais da funçăo (como no Exemplo 7). Nâo determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a)
Determine o domínio da função
e faça um esboço desse conjunto.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
a)
b) .
Direções de crescimento e
decrescimento mais rápidos
Nos exercícios 17-22, encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em . Depois encontre as derivadas das funções nessas direções.