Esboce o gráfico da função
, definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
definida de forma por partes. Isso significa que a função se comporta de maneira diferente dependendo de onde o ponto
está no plano.
O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e onde cada parte é válida, ou seja, quais pontos
pertencem a cada caso da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
-
Quando
: -
Quando
:
Aqui,
representa um círculo no plano
com raio 1, centrado na origem. Esse círculo divide o plano em duas regiões: dentro (
) e fora (
).
Passo 3
Vamos analisar cada parte separadamente.
Para
:
Aqui, a função retorna valores negativos e envolve uma raiz quadrada de
, que só é real quando
, ou seja, quando
.
Para
:
Nesta parte, a função retorna valores positivos e a raiz quadrada de
, que é real quando
.
Passo 4
Agora, vamos pensar em gráficos tridimensionais. A função
associa a cada ponto
um valor
, formando uma superfície no espaço
.
-
Para
: A expressão representa a parte superior de uma esfera com raio 1, centrada na origem. Isso porque a equação completa da esfera seria , e ela está resolvida para positivo. -
Para
: A expressão pode ser vista como uma superfície que se afasta para baixo conforme e se afastam do centro. Basicamente, é uma função que decresce conforme a distância do ponto ao centro aumenta além do raio 1.
Passo 5
Vamos resumir:
- Dentro do círculo (
): Temos a parte superior de uma esfera. - Fora do círculo (
): A função forma uma superfície que desce abaixo do plano e fica mais negativa conforme nos afastamos do centro.
Passo 6
Então, para esboçar o gráfico da função:
- Desenhe um círculo com raio 1 no plano
. - Dentro do círculo, plote a parte superior de uma esfera de raio 1.
- Fora do círculo, desenhe uma superfície que desce abaixo do plano
de forma contínua, conectando-se suavemente com a esfera no limite onde .
Isso resultará em uma forma que combina a parte superior de uma esfera com uma superfície cônica que se estende para baixo fora do círculo, formando uma transição suave no limite do círculo.
Resposta
O gráfico da função
consiste na parte superior de uma esfera de raio 1 para pontos dentro do círculo
e em uma superfície que desce abaixo do plano
, conectando-se suavemente à esfera no limite
. Assim, ao esboçar, você verá uma esfera na região central e uma extensão cônica para baixo fora desse círculo.