Determine os domínio das funções dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função e mostrar que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções e continuidade. Vamos precisar entender o que significa o domínio de uma função e o que é continuidade em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função dada é definida por partes:
Vamos analisar cada caso:
Para : A expressão está bem definida para todo diferente de zero, já que está definido quando . Além disso, é definido para todo número real.
Para : A função está definida explicitamente como zero.
Portanto, a função está definida para todos os números reais.
Passo 3
Agora que sabemos que o domínio de é todos os números reais, vamos mostrar que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio. A continuidade em um ponto significa que o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos analisar dois casos:
Para : A função é um produto de duas funções contínuas:
é um polinômio, que é contínuo em todo lugar.
é contínuo onde está definida, ou seja, para .
Como o produto de funções contínuas é contínuo, é contínua para todo .
Para : Precisamos verificar se:
Sabemos que . Vamos calcular o limite:
Como está sempre entre -1 e 1, temos:
Por quando , pelo Teorema do Sanduíche, o limite também é 0:
Então, a função é contínua em .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais, e ela é contínua em todos os pontos do seu domínio.