Determine os domínio das funções
dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
e mostrar que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções e continuidade. Vamos precisar entender o que significa o domínio de uma função e o que é continuidade em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função dada é definida por partes:
Vamos analisar cada caso:
-
Para
: A expressão está bem definida para todo diferente de zero, já que está definido quando . Além disso, é definido para todo número real. -
Para
: A função está definida explicitamente como zero.
Portanto, a função
está definida para todos os números reais.
Passo 3
Agora que sabemos que o domínio de
é todos os números reais, vamos mostrar que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio. A continuidade em um ponto significa que o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos analisar dois casos:
-
Para
: A função é um produto de duas funções contínuas: -
é um polinômio, que é contínuo em todo lugar. -
é contínuo onde está definida, ou seja, para .
Como o produto de funções contínuas é contínuo,é contínua para todo . -
-
Para
: Precisamos verificar se:
Sabemos que
. Vamos calcular o limite:
Como
está sempre entre -1 e 1, temos:
Por
quando
, pelo Teorema do Sanduíche, o limite também é 0:
Então, a função
é contínua em
.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais, e ela é contínua em todos os pontos do seu domínio.