Para quais valores de
a função
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para descobrir para quais valores de
a função
é contínua em todos os números reais. A função
está definida de duas formas diferentes:
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como garantir que as duas partes da função se encaixem certinho quando
for igual a 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em .
No nosso caso, a função é definida por duas expressões diferentes em dois intervalos: para
e para
. Os polinômios (como
e
) são contínuos em todo lugar, então a única preocupação é no ponto onde a definição muda, que é
.
Passo 3
Vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (usando
) deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita (usando
) e também igual ao valor da função em
.
Passo 4
Vamos calcular esses limites:
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
- Valor da função em
:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os limites e o valor da função devem ser iguais. Então temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Vamos somar
em ambos os lados para juntar os termos com
:
Agora, subtraímos 4 de ambos os lados:
Finalmente, dividimos ambos os lados por 6:
Resposta
O valor de
que faz a função
ser contínua em
é
.