Para quais valores de a função é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para descobrir para quais valores de a função é contínua em todos os números reais. A função está definida de duas formas diferentes:
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como garantir que as duas partes da função se encaixem certinho quando for igual a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
No nosso caso, a função é definida por duas expressões diferentes em dois intervalos: para e para . Os polinômios (como e ) são contínuos em todo lugar, então a única preocupação é no ponto onde a definição muda, que é .

Passo 3

Vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda (usando ) deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita (usando ) e também igual ao valor da função em .

Passo 4

Vamos calcular esses limites:
  1. Limite pela esquerda ( ):
  1. Limite pela direita ( ):
  1. Valor da função em :

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites e o valor da função devem ser iguais. Então temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Vamos somar em ambos os lados para juntar os termos com :
Agora, subtraímos 4 de ambos os lados:
Finalmente, dividimos ambos os lados por 6:

Resposta

O valor de que faz a função ser contínua em é .

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