Encontre os pontos nos quais é descontínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos onde a função é descontínua. A função está definida por partes, ou seja, ela muda a fórmula dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser descontínua e verificar onde essas quebras acontecem na definição da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é descontinuidade. Uma função é descontínua em um ponto se ela não for contínua ali. Isso pode acontecer de três maneiras:
  1. Descontinuidade do tipo salto: quando os limites à esquerda e à direita do ponto existem mas são diferentes.
  2. Descontinuidade infinita: quando os limites se aproximam de infinito.
  3. Descontinuidade removível: quando o limite existe, mas o valor da função no ponto é diferente ou não está definido.
Como nossa função está definida por partes, vamos focar nas descontinuidades de salto, que são mais comuns nessas situações.

Passo 3

Vamos identificar os pontos onde a função muda de uma expressão para outra. Olhando a definição de :
Notamos que a função muda de fórmula em e . Esses são os pontos candidatos a possíveis descontinuidades.

Passo 4

Vamos verificar a continuidade em .
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), há uma descontinuidade do tipo salto em .

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em .
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Novamente, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), indicando uma descontinuidade do tipo salto em .

Resposta

A função é descontínua nos pontos e .

Exercícios relacionados

Determine os domínio das funções dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
Em cada um dos itens abaixo, determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora. dada por .
Para quais valores de a função é contínua em ?
Determine os domínio das funções dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).