Determine o domínio das funções reais de várias variáveis reais abaixo:
(q) h(x, y, z) = raiz(x - y) + ln(1 - x^2 - y^2 - 2z^2).

Passo 1

Então, a gente vai determinar o domínio da função . Isso significa encontrar todos os valores de , e que fazem a função ser válida. Para resolver isso, vamos precisar entender quando a raiz quadrada e o logaritmo natural estão definidos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: . A raiz quadrada só é definida para números não negativos, ou seja:
Isso significa que tem que ser maior ou igual a :

Passo 3

Agora, vamos para a parte do logaritmo natural: . O logaritmo natural só é definido para números positivos, então a expressão dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Podemos rearranjar essa desigualdade para deixar mais claro:
Isso define um conjunto de pontos dentro de uma elipsoide.

Passo 4

Para resumir, o domínio da função é o conjunto de todos os tripletos que satisfazem simultaneamente:
e
Isso significa que deve ser pelo menos igual a e os pontos devem estar dentro da elipsoide definida pela segunda desigualdade.

Resposta

O domínio da função é dado por todos os números reais , e que satisfazem:

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