Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo:
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos determinar e desenhar o domínio da função
. Isso envolve o estudo de funções de duas variáveis e as condições para que a função esteja bem definida. Precisaremos entender sobre radicais e as condições para que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
Passo 2
Para que
esteja definida nos números reais, o que está dentro da raiz, ou seja,
, deve ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Multiplicando ambos os lados por -1 (e lembrando que ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte), temos:
Isso significa que o produto de
e
deve ser menor ou igual a zero.
Passo 4
O produto de dois números ser menor ou igual a zero significa que eles são de sinais opostos ou pelo menos um deles é zero. Portanto, temos duas situações:
-
e -
e
Além disso, podem ocorrer casos onde
ou
, já que o produto será zero nesses casos.
Passo 5
Para desenhar o domínio no plano
, vamos representar as regiões onde
. Isso inclui:
- A região onde
e (quarto quadrante) - A região onde
e (segundo quadrante) - Os eixos
e , onde pelo menos uma das variáveis é zero
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
no plano onde
. Geometricamente, isso corresponde ao segundo e quarto quadrantes do plano
, incluindo os próprios eixos. Ou seja,
está definida para todos os pontos onde
e
têm sinais opostos ou onde pelo menos um deles é zero.