Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo:
(a) f(x, y) = raiz(-x y).

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos determinar e desenhar o domínio da função . Isso envolve o estudo de funções de duas variáveis e as condições para que a função esteja bem definida. Precisaremos entender sobre radicais e as condições para que a expressão dentro da raiz seja não negativa.

Passo 2

Para que esteja definida nos números reais, o que está dentro da raiz, ou seja, , deve ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade . Multiplicando ambos os lados por -1 (e lembrando que ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte), temos:
Isso significa que o produto de e deve ser menor ou igual a zero.

Passo 4

O produto de dois números ser menor ou igual a zero significa que eles são de sinais opostos ou pelo menos um deles é zero. Portanto, temos duas situações:
  1. e
  2. e
Além disso, podem ocorrer casos onde ou , já que o produto será zero nesses casos.

Passo 5

Para desenhar o domínio no plano , vamos representar as regiões onde . Isso inclui:
  • A região onde e (quarto quadrante)
  • A região onde e (segundo quadrante)
  • Os eixos e , onde pelo menos uma das variáveis é zero

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares no plano onde . Geometricamente, isso corresponde ao segundo e quarto quadrantes do plano , incluindo os próprios eixos. Ou seja, está definida para todos os pontos onde e têm sinais opostos ou onde pelo menos um deles é zero.

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