Determine o domínio das funções a seguir: (j) f(x) = raiz((x - 2) / (x + 2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função . Isso envolve entender onde essa função está bem definida, ou seja, para quais valores de a expressão dentro da raiz quadrada é válida. Para isso, vamos precisar usar conceitos de raízes quadradas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada de um número só existe se o número dentro dela for não negativo, ou seja, maior ou igual a zero. Então, para a nossa função , precisamos que:
Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, também temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador em diferentes intervalos de .
Vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:

Passo 4

Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo:
  1. Para :
    • Numerador é negativo (porque qualquer número menor que -2 menos 2 é negativo).
    • Denominador é negativo (pois ).
    • Sinal da fração: Negativo dividido por negativo dá positivo ( ).
  2. Para :
    • Numerador é negativo (ainda menor que 2).
    • Denominador é positivo (maior que -2).
    • Sinal da fração: Negativo dividido por positivo dá negativo ( ).
  3. Para :
    • Numerador é positivo.
    • Denominador é positivo.
    • Sinal da fração: Positivo dividido por positivo dá positivo ( ).

Passo 5

Queremos que , ou seja, a fração deve ser maior ou igual a zero. Observando os sinais:
  • Nos intervalos e , a fração é positiva.
  • No ponto , a fração é igual a zero, o que também satisfaz a desigualdade.
Lembrando que não está incluído porque o denominador seria zero.

Resposta

Portanto, o domínio da função é:

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