Determine o domínio das funções a seguir: (j)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
. Isso envolve entender onde essa função está bem definida, ou seja, para quais valores de
a expressão dentro da raiz quadrada é válida. Para isso, vamos precisar usar conceitos de raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada de um número só existe se o número dentro dela for não negativo, ou seja, maior ou igual a zero. Então, para a nossa função
, precisamos que:
Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, também temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos analisar os sinais do numerador
e do denominador
em diferentes intervalos de
.
Vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Passo 4
Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo:
-
Para
: - Numerador
é negativo (porque qualquer número menor que -2 menos 2 é negativo). - Denominador
é negativo (pois ). - Sinal da fração: Negativo dividido por negativo dá positivo (
).
- Numerador
-
Para
: - Numerador
é negativo (ainda menor que 2). - Denominador
é positivo (maior que -2). - Sinal da fração: Negativo dividido por positivo dá negativo (
).
- Numerador
-
Para
: - Numerador
é positivo. - Denominador
é positivo. - Sinal da fração: Positivo dividido por positivo dá positivo (
).
- Numerador
Passo 5
Queremos que
, ou seja, a fração deve ser maior ou igual a zero. Observando os sinais:
- Nos intervalos
e , a fração é positiva. - No ponto
, a fração é igual a zero, o que também satisfaz a desigualdade.
Lembrando que
não está incluído porque o denominador seria zero.
Resposta
Portanto, o domínio da função
é: