Determine o domínio das funções vetoriais abaixo :
r(t)=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o domínio da função vetorial dada:
r(t) = lang<= t^3, ln(3 - t), raizt rang<=
Isso significa que vamos descobrir para quais valores de todas as partes dessa função estão bem definidas. Para isso, precisamos analisar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente: . Essa é uma função polinomial, que está definida para todos os números reais. Ou seja, não tem restrição aqui.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: 3 - t > 0 . A função logarítmica t < 3 só está definida quando o argumento é positivo. Então, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, para essa parte da função, deve ser menor que 3.

Passo 4

Por último, temos o terceiro componente: t >= 0 . A raiz quadrada está definida apenas quando o radicando é não negativo, ou seja:
Então, precisa ser maior ou igual a zero para essa parte da função estar válida.

Passo 5

Agora, juntando todas as condições que encontramos:
t >= 0 e t < 3
Isso significa que deve estar no intervalo entre 0 e 3, incluindo o 0, mas sem incluir o 3.

Resposta

O domínio da função vetorial 0 <= t < 3 é:

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