Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar e representar graficamente a superfície definida pela equação
no espaço tridimensional (
). Além disso, precisamos encontrar a interseção dessa superfície com os planos coordenados (plano xy, xz e yz). Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre quadricas e interseções com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da superfície:
Essa equação representa uma quadrica no espaço tridimensional. Para identificar qual tipo de superfície é, vamos colocar a equação na forma padrão de uma elipsoide, que é:
Onde
,
e
são os semi-eixos da elipsoide nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos comparar a equação original com a forma padrão da elipsoide:
Aqui, percebemos que:
Portanto, a superfície representada pela equação é uma elipsoide com semi-eixos de comprimentos
,
e
nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções dessa elipsoide com os planos coordenados.
Interseção com o plano xy (
):
Substituindo
na equação da elipsoide:
Dividindo ambos os lados por 1:
Essa é a equação de uma elipse no plano xy com semi-eixos
e
.
Interseção com o plano xz (
):
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por 1:
Outra elipse, agora no plano xz, com semi-eixos
e
.
Interseção com o plano yz (
):
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por 1:
Mais uma elipse, no plano yz, com semi-eixos
e
.
Resposta
A superfície definida pela equação
é uma elipsoide com semi-eixos de comprimentos
na direção x,
na direção y e
na direção z. As interseções dessa elipsoide com os planos coordenados são:
- Plano xy (
): Elipse com semi-eixos e . - Plano xz (
): Elipse com semi-eixos e . - Plano yz (
): Elipse com semi-eixos e .