Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no R^3 cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
4 x^2+6 y^2+z^2-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar e representar graficamente a superfície definida pela equação no espaço tridimensional ( ). Além disso, precisamos encontrar a interseção dessa superfície com os planos coordenados (plano xy, xz e yz). Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre quadricas e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da superfície:
4x^2 + 6y^2 + z^2 = 1
Essa equação representa uma quadrica no espaço tridimensional. Para identificar qual tipo de superfície é, vamos colocar a equação na forma padrão de uma elipsoide, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Onde , e são os semi-eixos da elipsoide nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos comparar a equação original com a forma padrão da elipsoide:
x^214 + y^216 + z^21 = 1
Aqui, percebemos que:
a^2 = 14 Rightarrow a = 12
b^2 = 16 Rightarrow b = raiz66
c^2 = 1 Rightarrow c = 1
Portanto, a superfície representada pela equação é uma elipsoide com semi-eixos de comprimentos , e nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções dessa elipsoide com os planos coordenados.
Interseção com o plano xy ( 4x^2 + 6y^2 = 1 ):
Substituindo x^214 + y^216 = 1 na equação da elipsoide:
4x^2 + z^2 = 1
Dividindo ambos os lados por 1:
x^214 + z^21 = 1
Essa é a equação de uma elipse no plano xy com semi-eixos 6y^2 + z^2 = 1 e y^216 + z^21 = 1 .
Interseção com o plano xz ( ):
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por 1:
Outra elipse, agora no plano xz, com semi-eixos e .
Interseção com o plano yz ( ):
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por 1:
Mais uma elipse, no plano yz, com semi-eixos e .

Resposta

A superfície definida pela equação é uma elipsoide com semi-eixos de comprimentos na direção x, na direção y e na direção z. As interseções dessa elipsoide com os planos coordenados são:
  • Plano xy ( ): Elipse com semi-eixos e .
  • Plano xz ( ): Elipse com semi-eixos e .
  • Plano yz ( ): Elipse com semi-eixos e .

Exercícios relacionados