Resolver as seguintes equações homogêneas y' = (y - x) / x (x ≠ 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz para resolver a equação diferencial homogênea , onde . A matéria aqui é equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição , que vai simplificar a equação e facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .

Passo 3

Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Vamos isolar :
Essa é uma equação diferencial simples para .

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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