Resolver as seguintes equações homogêneas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz para resolver a equação diferencial homogênea
, onde
. A matéria aqui é equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição
, que vai simplificar a equação e facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Vamos isolar
:
Essa é uma equação diferencial simples para
.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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