Prove por indução finita: 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(n(n+1)) = k/(k+1), para todo n ≥ 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma prova por indução finita. O exercício pede para provar que a soma da série é igual a para todo número natural n maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando . Isso é chamado de caso base na indução.
Quando , a soma é apenas o primeiro termo:
E a expressão do lado direito é:
Então, para , ambos os lados são iguais a 1/2. Isso confirma que a afirmação funciona para o caso base.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural k. Ou seja, vamos assumir que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com base nessa hipótese, queremos provar que a afirmação também vale para . Ou seja, queremos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, sabemos que a soma até k é . Então, adicionamos o próximo termo:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é :
Expandindo o numerador:
Cancelamos um do numerador e denominador:
Assim, mostramos que se a afirmação é verdadeira para k, então também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução finita, mostramos que:

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