Prove por indução finita:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma prova por indução finita. O exercício pede para provar que a soma da série
é igual a
para todo número natural
maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando
. Isso é chamado de caso base na indução.
Quando
, a soma é apenas o primeiro termo:
E a expressão do lado direito é:
Então, para
, ambos os lados são iguais a
. Isso confirma que a afirmação funciona para o caso base.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos assumir que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com base nessa hipótese, queremos provar que a afirmação também vale para
. Ou seja, queremos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, sabemos que a soma até
é
. Então, adicionamos o próximo termo:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é
:
Expandindo o numerador:
Cancelamos um
do numerador e denominador:
Assim, mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução finita, mostramos que:
Exercícios relacionados
Prove por indução finita:
Prove por indução finita:
, para
.
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfíces abaixo
O cilindro e o plano
;
O cilindro
Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.