Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar o **domínio** das funções vetoriais fornecidas nos itens **i)** e **ii)**. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está **definida**. Para isso, vamos analisar cada componente das funções vetoriais e verificar as condições necessárias para que cada uma delas seja válida.
Passo 2
Vamos começar pelo **item i)**:
Para que a função vetorial esteja definida, **todas** as suas componentes devem estar definidas para os mesmos valores de . Vamos analisar cada componente individualmente.
Passo 3
**Primeira componente: **
A função raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é **não-negativo**. Portanto:
Resolvendo a desigualdade:
Então, para que a primeira componente esteja definida, deve estar no intervalo .
Passo 4
**Segunda componente: **
A função exponencial está **sempre definida** para qualquer valor real de . Não há restrições nessa componente.
Passo 5
**Terceira componente: **
A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é **positivo**. Portanto:
Para que a terceira componente esteja definida, deve ser maior que .
Passo 6
**Intersecção dos Domínios para o item i)**
Para que toda a função vetorial **i)** esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos encontrar a intersecção dos intervalos:
A intersecção desses intervalos é:
Passo 7
Agora, vamos para o **item ii)**:
Novamente, todas as componentes precisam estar definidas para o mesmo valor de .
Passo 8
**Primeira componente: **
A função fração está definida para todos os valores de , **exceto** quando o denominador é zero. Então:
Passo 9
**Segunda componente: **
Esta componente é uma constante vetorial e está **sempre definida**. Não impõe restrições ao domínio.
Passo 10
**Terceira componente: **
A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é **positivo**. Portanto:
Para que a terceira componente esteja definida, deve estar no intervalo .
Passo 11
**Intersecção dos Domínios para o item ii)**
Para que toda a função vetorial **ii)** esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos considerar:
Portanto, o domínio é:
Resposta
- **i)** O domínio da função vetorial é .
- **ii)** O domínio da função vetorial é .
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Prove que se , então .