Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar o **domínio** das funções vetoriais fornecidas nos itens **i)** e **ii)**. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está **definida**. Para isso, vamos analisar cada componente das funções vetoriais e verificar as condições necessárias para que cada uma delas seja válida.

Passo 2

Vamos começar pelo **item i)**: Para que a função vetorial esteja definida, **todas** as suas componentes devem estar definidas para os mesmos valores de . Vamos analisar cada componente individualmente.

Passo 3

**Primeira componente: ** A função raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é **não-negativo**. Portanto: Resolvendo a desigualdade: Então, para que a primeira componente esteja definida, deve estar no intervalo .

Passo 4

**Segunda componente: ** A função exponencial está **sempre definida** para qualquer valor real de . Não há restrições nessa componente.

Passo 5

**Terceira componente: ** A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é **positivo**. Portanto: Para que a terceira componente esteja definida, deve ser maior que .

Passo 6

**Intersecção dos Domínios para o item i)** Para que toda a função vetorial **i)** esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos encontrar a intersecção dos intervalos: A intersecção desses intervalos é:

Passo 7

Agora, vamos para o **item ii)**: Novamente, todas as componentes precisam estar definidas para o mesmo valor de .

Passo 8

**Primeira componente: ** A função fração está definida para todos os valores de , **exceto** quando o denominador é zero. Então:

Passo 9

**Segunda componente: ** Esta componente é uma constante vetorial e está **sempre definida**. Não impõe restrições ao domínio.

Passo 10

**Terceira componente: ** A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é **positivo**. Portanto: Para que a terceira componente esteja definida, deve estar no intervalo .

Passo 11

**Intersecção dos Domínios para o item ii)** Para que toda a função vetorial **ii)** esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos considerar: Portanto, o domínio é:

Resposta

- **i)** O domínio da função vetorial é . - **ii)** O domínio da função vetorial é .

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