Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a integral imprópria
converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função
quando
tende ao infinito e ver se a área sob essa curva é finita ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o
. A função arco-tangente,
, tem um limite quando
vai para o infinito:
. Isso quer dizer que, para valores muito grandes de
,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da nossa fração, que é
. Para
muito grande,
é praticamente igual a
, já que o 1 se torna irrelevante comparado a
.
Passo 4
Com isso, para
tendendo ao infinito, nossa função
se comporta aproximadamente como
. Ou seja:
Isso simplifica nossa análise, pois agora podemos comparar nossa integral com
, que sabemos ser uma integral bem conhecida.
Passo 5
Sabemos que a integral
converge e resulta em:
Isso significa que a área sob a curva de
de 1 ao infinito é finita.
Passo 6
Como nossa função
é aproximadamente
para
grande, e sabemos que
converge, podemos concluir que a nossa integral original também converge por comparação.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Determine os limites se existirem:
Esboce as superfícies
Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
Responda se são falsas ou verdadeiras as afirmações abaixo. Justifique as afirmativas verdadeiras e dê exemplos para mostrar que as afirmativas falsas foram erroneamente deduzidas.Se
, então
.