Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique. integral0^+infty arctan xx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a integral imprópria converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e ver se a área sob essa curva é finita ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o . A função arco-tangente, , tem um limite quando vai para o infinito: . Isso quer dizer que, para valores muito grandes de , se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa fração, que é . Para muito grande, é praticamente igual a , já que o 1 se torna irrelevante comparado a .

Passo 4

Com isso, para arctan xx^2+1 approx pi/2x^2 tendendo ao infinito, nossa função se comporta aproximadamente como . Ou seja:
Isso simplifica nossa análise, pois agora podemos comparar nossa integral com , que sabemos ser uma integral bem conhecida.

Passo 5

Sabemos que a integral integral1^+infty 1x^2 , dx = [ -1x ]1^+infty = 0 - (-1) = 1 converge e resulta em:
Isso significa que a área sob a curva de de 1 ao infinito é finita.

Passo 6

Como nossa função é aproximadamente para grande, e sabemos que converge, podemos concluir que a nossa integral original também converge por comparação.

Resposta

A integral converge.

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