Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar o domínio das funções vetoriais fornecidas nos itens i) e ii). O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para isso, vamos analisar cada componente das funções vetoriais e verificar as condições necessárias para que cada uma delas seja válida.
Passo 2
Vamos começar pelo item i):
Para que a função vetorial esteja definida, todas as suas componentes devem estar definidas para os mesmos valores de
. Vamos analisar cada componente individualmente.
Passo 3
Primeira componente:
A função raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é não-negativo. Portanto:
Resolvendo a desigualdade:
Então, para que a primeira componente esteja definida,
deve estar no intervalo
.
Passo 4
Segunda componente:
A função exponencial está sempre definida para qualquer valor real de
. Não há restrições nessa componente.
Passo 5
Terceira componente:
A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é positivo. Portanto:
Para que a terceira componente esteja definida,
deve ser maior que
.
Passo 6
Intersecção dos Domínios para o item i)
Para que toda a função vetorial i) esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos encontrar a intersecção dos intervalos:
A intersecção desses intervalos é:
Passo 7
Agora, vamos para o item ii):
Novamente, todas as componentes precisam estar definidas para o mesmo valor de
.
Passo 8
Primeira componente:
A função fração está definida para todos os valores de
, exceto quando o denominador é zero. Então:
Passo 9
Segunda componente:
Esta componente é uma constante vetorial e está sempre definida. Não impõe restrições ao domínio.
Passo 10
Terceira componente:
A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é positivo. Portanto:
Para que a terceira componente esteja definida,
deve estar no intervalo
.
Passo 11
Intersecção dos Domínios para o item ii)
Para que toda a função vetorial ii) esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos considerar:
Portanto, o domínio é:
Resposta
-
i) O domínio da função vetorial é
. -
ii) O domínio da função vetorial é
.