Determine o domínio das funções vetoriais abaixo.
ll i) & r(t)=(raiz4-t^2), e^-3 t, ln (t+1)) ii) & r(t)=t-2t+2 i+j+ln (9-t^2) k

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar o domínio das funções vetoriais fornecidas nos itens i) e ii). O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para isso, vamos analisar cada componente das funções vetoriais e verificar as condições necessárias para que cada uma delas seja válida.

Passo 2

Vamos começar pelo item i):
r(t) = (raiz4 - t^2, e^-3t, ln(t + 1))
Para que a função vetorial esteja definida, todas as suas componentes devem estar definidas para os mesmos valores de . Vamos analisar cada componente individualmente.

Passo 3

Primeira componente: 4 - t^2 >= 0
A função raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é não-negativo. Portanto:
t^2 <= 4 -2 <= t <= 2
Resolvendo a desigualdade:
Então, para que a primeira componente esteja definida, deve estar no intervalo .

Passo 4

Segunda componente:
A função exponencial está sempre definida para qualquer valor real de . Não há restrições nessa componente.

Passo 5

Terceira componente: t + 1 > 0 t > -1
A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é positivo. Portanto:
Para que a terceira componente esteja definida, deve ser maior que .

Passo 6

Intersecção dos Domínios para o item i)
Para que toda a função vetorial i) esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos encontrar a intersecção dos intervalos:
-2 <= t <= 2 t > -1
A intersecção desses intervalos é:
-1 < t <= 2

Passo 7

Agora, vamos para o item ii):
r(t) = t - 2t + 2 i + j + ln(9 - t^2) k
Novamente, todas as componentes precisam estar definidas para o mesmo valor de .

Passo 8

Primeira componente: t + 2 neq 0 t neq -2
A função fração está definida para todos os valores de , exceto quando o denominador é zero. Então:

Passo 9

Segunda componente:
Esta componente é uma constante vetorial e está sempre definida. Não impõe restrições ao domínio.

Passo 10

Terceira componente: 9 - t^2 > 0 t^2 < 9 -3 < t < 3
A função logaritmo natural está definida apenas quando o argumento é positivo. Portanto:
Para que a terceira componente esteja definida, deve estar no intervalo .

Passo 11

Intersecção dos Domínios para o item ii)
Para que toda a função vetorial ii) esteja definida, todas as condições das componentes devem ser satisfeitas simultaneamente. Então, precisamos considerar:
t neq -2 -3 < t < 3
Portanto, o domínio é:
t in (-3, -2) cup (-2, 3)

Resposta

  • i) O domínio da função vetorial é .
  • ii) O domínio da função vetorial é .

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