Determine o domínio das funções vetoriais. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial . Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, os valores de para os quais todas as componentes da função estão definidas. Para isso, precisamos analisar cada componente individualmente e encontrar os valores de que satisfazem todas as condições necessárias.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira componente: . A função valor absoluto está definida para todos os números reais, então não há restrições para nessa parte.
á

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A raiz quadrada está definida apenas quando a expressão dentro dela é maior ou igual a zero, ou seja:
Podemos fatorar essa expressão:
Como um quadrado sempre é não negativo, para todo . Portanto, a segunda componente também está definida para todos os números reais.

Passo 4

Finalmente, analisamos a terceira componente: . A função logaritmo natural está definida apenas para . Isso significa que o argumento deve ser maior que zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
  1. Encontramos os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
  2. Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
  3. Testamos cada intervalo:
    • Para :
    • Para :
    • Para :
Portanto, a expressão é positiva quando ou .

Passo 5

Resumindo as condições:
  • A primeira componente est�� definida para todo .
  • A segunda componente está definida para todo .
  • A terceira componente está definida somente para ou .
Como precisamos que todas as componentes estejam definidas simultaneamente, o domínio da função vetorial é a interseção das condições, ou seja:

Resposta

O domínio da função vetorial é .

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b)
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