Determine o domínio das funções vetoriais.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
. Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, os valores de
para os quais todas as componentes da função estão definidas. Para isso, precisamos analisar cada componente individualmente e encontrar os valores de
que satisfazem todas as condições necessárias.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira componente:
. A função valor absoluto está definida para todos os números reais, então não há restrições para
nessa parte.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A raiz quadrada está definida apenas quando a expressão dentro dela é maior ou igual a zero, ou seja:
Podemos fatorar essa expressão:
Como um quadrado sempre é não negativo,
para todo
. Portanto, a segunda componente também está definida para todos os números reais.
Passo 4
Finalmente, analisamos a terceira componente:
. A função logaritmo natural
está definida apenas para
. Isso significa que o argumento
deve ser maior que zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
-
Encontramos os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
-
-
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
-
-
Testamos cada intervalo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
-
Portanto, a expressão
é positiva quando
ou
.
Passo 5
Resumindo as condições:
- A primeira componente est�� definida para todo
. - A segunda componente está definida para todo
. - A terceira componente está definida somente para
ou .
Como precisamos que todas as componentes estejam definidas simultaneamente, o domínio da função vetorial
é a interseção das condições, ou seja:
Resposta
O domínio da função vetorial
é
.
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Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
b)
b)
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.6.
5.6.
Resolva:
6.11.
6.11.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: