Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especificamente utilizando as formas inversas dos Teoremas de Translações. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Translação em e usar propriedades básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração de uma forma que facilite a aplicação do Teorema de Translação. Podemos separar o termo da seguinte maneira:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Translação em , que diz:
Isso significa que se temos uma função , sua transformada inversa será , onde é a transformada inversa de .
No nosso caso, temos , então . Vamos identificar as transformadas inversas das partes separadas.

Passo 4

Primeiro, consideremos . Sabemos que:
Comparando com , temos e um fator de 5. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos para . Sabemos que:
Rearranjando para nossa expressão:
Portanto:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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Uma pesquisa mostra que, dias após uma epidemia começar, pessoas estavam infectadas, para . A que taxa o número de pessoas infectadas estava aumentando no dia?
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
b)
Determine o domínio das funções vetoriais. .