Determine o dominio das funções vetoriais.
a) r(t)=(t^2, raizt-1, raiz5-t)
b) r(t)=(ln t, tt-1, e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinar o domínio de funções vetoriais. Aqui, estamos lidando com funções que têm várias componentes, e para encontrar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de todas as componentes estão bem definidas. Vamos precisar lembrar dos conceitos de domínio de funções matemáticas básicas como raiz quadrada, logaritmo, frações e exponenciais.

Passo 2

Vamos começar com a função vetorial da alínea a):
r(t) = (t^2, raizt-1, raiz5-t)
Para encontrar o domínio dessa função, precisamos ver para quais valores de cada componente está definida.

Passo 3

Primeiro, analisamos t^2 está definido para forall t in R . Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais:
á

Passo 4

Agora, olhamos para t - 1 >= 0 implies t >= 1 . A raiz quadrada está definida somente para números não negativos. Então:

Passo 5

Em seguida, temos 5 - t >= 0 implies t <= 5 . Assim como antes, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo:

Passo 6

Para que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo, precisamos que as condições se sobreponham:
t >= 1 e t <= 5 implies 1 <= t <= 5

Passo 7

Agora, vamos para a função vetorial da alínea b):
r(t) = (ln t, tt-1, e^-t)
Vamos verificar o domínio de cada componente.

Passo 8

Primeiro, t > 0 está definido para :

Passo 9

Em seguida, analisamos t - 1 neq 0 implies t neq 1 . Uma fração está definida para todos os valores de , exceto quando o denominador é zero:

Passo 10

Por último, e^-t está definido para forall t in R é uma função exponencial definida para todos os números reais:
á

Passo 11

Para que todas as componentes da função vetorial b) estejam definidas simultaneamente, combinamos as condições:
t > 0 e t neq 1

Resposta

a) O domínio é .
b) O domínio é e .

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