Mostre que se
é a parametrização de uma reta, onde
é um intervalo. Então
e
são paralelos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
é a parametrização de uma reta, então as derivadas segunda (
) e primeira (
) são paralelas. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa parametrizar uma reta no plano
. Uma parametrização de uma reta pode ser escrita como
, onde
e
são vetores constantes e
varia em um intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A derivada de
nos dá a velocidade do ponto em cada instante
:
Notamos que
é constante, ou seja, não depende de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que representa a aceleração:
A segunda derivada é o vetor zero.
Passo 5
Para dizer que dois vetores são paralelos, precisamos que um seja múltiplo escalar do outro. Neste caso, temos:
Isso significa que
é um múltiplo escalar de
(onde o múltiplo é zero).
Resposta
Portanto, mostramos que para uma parametrização de uma reta
, as derivadas segunda e primeira,
e
, são de fato vetores paralelos.