Mostre que se alpha: I R^2 é a parametrização de uma reta, onde I é um intervalo. Então alpha^prime prime e alpha^prime são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se alpha: I R^2 é a parametrização de uma reta, então as derivadas segunda ( alpha'') e primeira ( alpha') são paralelas. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa parametrizar uma reta no plano R^2. Uma parametrização de uma reta pode ser escrita como alpha(t) = at + b, onde a e b são vetores constantes e t varia em um intervalo I.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de alpha(t) em relação a t. A derivada de alpha(t) nos dá a velocidade do ponto em cada instante t:
alpha'(t) = ddt (at + b) = a
Notamos que alpha'(t) é constante, ou seja, não depende de t.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de alpha(t), que representa a aceleração:
alpha''(t) = ddt (alpha'(t)) = ddt (a) = 0
A segunda derivada é o vetor zero.

Passo 5

Para dizer que dois vetores são paralelos, precisamos que um seja múltiplo escalar do outro. Neste caso, temos:
alpha''(t) = 0 = 0 cdot alpha'(t)
Isso significa que alpha''(t) é um múltiplo escalar de alpha'(t) (onde o múltiplo é zero).

Resposta

Portanto, mostramos que para uma parametrização de uma reta alpha, as derivadas segunda e primeira, alpha'' e alpha', são de fato vetores paralelos.

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