Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(ii)
(ii)
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de quatro vetores no espaço tridimensional
, que são
,
,
e
. A pergunta é: esses vetores formam uma base para
? Para descobrir isso, precisamos entender se eles são linearmente independentes e se geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de
, uma base idealmente deve ter exatamente três vetores, pois a dimensão do espaço é 3.
Passo 3
Aqui, temos quatro vetores. Mas, em
, não pode haver mais de três vetores linearmente independentes, porque isso excederia a dimensão do espaço. Ou seja, se tivermos mais vetores do que a dimensão do espaço, alguns deles vão ser combinações lineares dos outros.
Passo 4
Para verificar a linearidade desses vetores, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Porém, como já temos quatro vetores em um espaço de dimensão três, sabemos que o determinante dessa matriz será zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Como os vetores são linearmente dependentes, eles não são uma base para
. Além disso, como temos mais vetores do que a dimensão do espaço, não conseguimos gerar todo o espaço sem redundância, o que confirma que eles não formam uma base.
Resposta
Não, os vetores
,
,
e
não formam uma base para o espaço vetorial
.
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Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(i)
(i)
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(iv)
(iv)
Mostre que se
é a parametrização de uma reta, onde
é um intervalo. Então
e
são paralelos.
Determine o dominio das funções vetoriais.
a)
b)
a)
b)