Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial R^3.
(ii) (1,2,3) ;(1,0,-1) ;(3,-1,0) ;(2,1,-2)

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de quatro vetores no espaço tridimensional R^3, que são (1,2,3), (1,0,-1), (3,-1,0) e (2,1,-2). A pergunta é: esses vetores formam uma base para R^3? Para descobrir isso, precisamos entender se eles são linearmente independentes e se geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de R^3, uma base idealmente deve ter exatamente três vetores, pois a dimensão do espaço é 3.

Passo 3

Aqui, temos quatro vetores. Mas, em R^3, não pode haver mais de três vetores linearmente independentes, porque isso excederia a dimensão do espaço. Ou seja, se tivermos mais vetores do que a dimensão do espaço, alguns deles vão ser combinações lineares dos outros.

Passo 4

Para verificar a linearidade desses vetores, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Porém, como já temos quatro vetores em um espaço de dimensão três, sabemos que o determinante dessa matriz será zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Como os vetores são linearmente dependentes, eles não são uma base para R^3. Além disso, como temos mais vetores do que a dimensão do espaço, não conseguimos gerar todo o espaço sem redundância, o que confirma que eles não formam uma base.

Resposta

Não, os vetores (1,2,3), (1,0,-1), (3,-1,0) e (2,1,-2) não formam uma base para o espaço vetorial R^3.

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